Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Лекции » Исследование функций, графики, min max, y(x)

18.03.2012 в 13:53 Задачи к лекции
:
Экстремальные точки. Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы) 

  • Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).
  • Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).
  • Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.

  • Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками. 

Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.

Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:

1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.

2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума.

 


ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x)

                                          на отрезке [a;b].

 

1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.

2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).

3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].

4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 


 

ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x)

                                          на интервале (a;b).

1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .

2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).

f ′(x)                +                       –                        +
                 a_________ x0____________x1______________ b

f (x)                   /                       \                        /

3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).

4. x max = x0,           x min = x1.

5. y max = y(x0),       y min = y(x1).


Комментарии к лекции (скрыть)

Комментариев нет.

Задачи к лекции

18.03.12 Найдите точку максимума. Наибольшее значение на промежутке ?...   Решите самостоятельно. № 9. Найдите точку максимума функции у = (2х - 3)соs x + sin x принадлеж...
18.03.12 Найдите точку минимума функции у=(х-3)2(х+1)....  Найдите точку минимума функции у=(х-3)2(х+1). Решение. у\' = 2(x-3)(x+1) + (x-3)2 =0,   (x-3)*...
18.03.12 Найдите наибольшее значение функции f(x) = 3sin x + 30/п *x + 4 на отрезке [5п/6; 0]....  Найдите наибольшее значение функции  f(x) = 3sin x + 30/п *x + 4 на отрезке  [5п/6; 0]. Р...