Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Лекции » Исследование функций, графики, min max, y(x)

18.03.2012 в 14:10 Задачи к лекции
:
Построение графиков функций.

Строить график надо по схеме:

1. Область определения и точки разрыва функции.

2. Четность и нечетность

3 Периодичность

4. Нули функции

5. Интервалы знакопостоянства

6. Асимптоты **

7. Экстремумы и интервалы монотонности

8. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции **

9. Область изменения функции 

Пункты 6** и 8** необязательны в школьном курсе.

 


 

Примеры.

№ 1. Построим график функции  у= 2 - 3х2 - х3

  • функция непрерывна на (-∞; +∞)
  • у'=(2-3x2-x3)' = - 6x - 3x2
  • y'=0;  -3x(2+x)=0;  x1=0,  x2=-2  - критические точки.
  •       4.  y'(x)            __                                                    _         знаки производной

                –∞  _______________-2_______________0______________________ +∞             

          y(x)       убывает  ↓           возрастает ↑               убывает ↓

 

           x=-2 – точка минимума,   х=0  – точка максимума

  •  у(-2)= 2– 3(-2)2-(-2)3 = -2    минимум функции в точке (-2,-2)

           y(0) = 2-0-0=2                      максимум функции в точке (0,2)  

  • Найдем нули функции:  2-3х23=2-2х223=2(1-х2) - х2(1+х) = (1+х)(2-2х-х2) = 0,

             т.о. х1=-1,  х2=-1-√3 ≈ -2.7,   х3=-1+√3 ≈ 0.7 .

             Точки х1, х2, х3 - точки пересечения графика функции с осью OX.

  • Нанесем на плоскость полученные точки (х1,0); (х2,0), (х3,0)  и точки (-2,-2),  (0,2), а также  используя информацию о промежутках убывания и возрастания, строим график.

        


№ 2.    Построить график функции    y=12x/(9+x2)

  • функция непрерывна на (-∞; +∞),
  • нечетная,т.к. у(-х)=-у(х). Поэтому достаточно построить график при х>0, а затем повернуть построенную ветвь на 180° (симметрично отбразить относительно 0).
  • ноль функции один: у=0 при х=0.    (0;0)
  • решим y'=0,  у' = [12(9+x2) - 12x*2x] / (9+x2)2 =  0,  приравнивая числитель к 0, получим критические точки:  x=±3.   Значения функции в критических точках       y(3)=2, у(-3)=-2
  • y'<0 при х>3 (функция убывает), у'>0 при 0<х<3 (фукция возрастает)
  • Легко видеть, что при х→+∞ функция стремится к 0, оставаясь положительной
  • Комментарии к лекции (скрыть)

    Комментариев нет.

    Задачи к лекции

    Задач нет.