Иррациональные неравенства часто сводятся к неравенствам вида
√А(х) ≤ В(х) или
√А(х) ≥ В(х).
Неравенств первого вида удобно приводить к равносильной системе неравенств:
| |
|
А(х) ≤ В2(х)
|
| √А(х) ≤ В(х) |
<==>
|
А(х) ≥ 0
|
| |
|
В(х) ≥ 0
|
Первое неравенство является результатом возведения исходного неравенства в квадрат.
Второе неравенство описывает условие существования корня в данном неравенстве (ОДЗ).
Третье неравенство данной системы "позволяет" возводить в четную степень.
(Неравенство с положительными частями можно возводить в четную степень,
при этом знак неравенства не изменится).
____________________________________________________________________________
Неравенства второго вида решают так:
| |
(1)
|
{ A(x) ≥ B2(x)
|
| |
|
{ B(x) ≥ 0
|
√А(х) ≥ В(х)
|
<==>
|
|
| |
(2)
|
{ A(x) ≥ 0
|
| |
|
{ B(x) ≤ 0
|
В системе (1) первое неравенство - результат возведения в квадрат исходного нерапвенства, а второе - условие, разрешающее произвести возведение в степень.
Система (2) получена следующим образом: если правая часть неравенства не положительна, то при выполнении условия А(х)≥0 левая часть будет неотрицательна, следовательно, неравенство будет верным.
