Функция y=ax+ln(x²+1). не имеет точек экстремума,  если её производная не обращается в 0 на области определения.

у' = a +2x/(x²+1).

Пусть а=0, тогда у' = 0 при х=0, т.е. х=0 - точка экстремума (при переходе через 0 функция меняет знак с минуса на плюс,  хmin=0). 

Значит, а≠0.  Решим у'=0

a(x²+1) + 2x = 0  (1)

ax² + 2x + a = 0

Уравнение не имеет решений, если D<0.

D = 4 -4a² < 0;    4(1-a)(1+a) <0

    -              +           -

______-1______1______

При   а<-1   и a>1    функция не имеет точек экстремума.

Проверим наличие экстремумов при а=1 и а=-1

При а=1 у' = (x²+1+2x)/(x2+1) = (x+1)²/(x²+1) >0 при всех х, значит, при а=1 функция возрастает на всей области определения, т.е. точек экстремума не имеет.

Аналогично для а=-1.

Т.о. при а ≤-1 и а ≥ 1 функция не имеет точек экстремума.