2.  Докажите, что, если треугольник прямоугольный, то медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Дан ΔАВС. / B=90^o ,   BO-медиана.

Док-ть :  ВО=АО=ОС

Док-во.    Проведем CD||AB.   Продолжим ВО до пересечения с CD.

ΔAOB = ΔCOD  по стороне и 2-м прилеж. углам:

АО=ОС (ВО-медиана), уголВАО=углуDCO ( АВ || СD, AC - секущая), 

угол AOB= углу DOC, как вертикальные. Значит, АВ=СD.

В 4-ке АВСD:  АВ и СD равны и параллельны, значит, АВСD - параллелограмм, у которого угол В=90^о.

Тогда АВСD - прямоугольник, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

ВD=AC и BO=0,5*BD=0,5*AC, что и треб. док-ть.