log_x+1(x³-16x+25) * log_x-1(x+5) = 4

Заметим сразу, что х>1 и х≠2.

Попробуем решить неравенство в целых числах. Т.к. правая часть 4, то прравняем каждый логарифм к 2.  Получим систему:

log_x+1(x³-16x+25) =2   

log_x-1(x+5) = 2

Решим второе уравнение.   х+5 = (х-1)²

х+5 = х² - 2х +1;     x²-3x -4 = 0;

x= -1 < 1 (не удовл. допустимым значениям).

х= 4

Подставим в первое ур-ие х=4.

log₅(4³-16*4+25) =2  

log₅ 25 = 2 - верно, значит х=4 - корень исходного уравнения.

Можно (и нужно) доказать, что это корень единственный.

f(x) = log_x+1(x³-16x+25) * log_x-1(x+5),     g(x)= - 4

f(x) = g(x)

f(x) - произведение 2-х возрастающих функций, следовательно, график f(x) с прямой g(x)=4 имеет только одну общую точку. Значит ур-ие имеет одно решение.

Ответ: 4.