Сечение балки по отношению к сечению бревна, из которого она вырезана, будем рассматривать как прямоугольник, вписанный в окружность.

Обозначим через a, b стороны прямоугольника, через d его диагональ, S - площадь прямоугольника (сечения).

Для вписанного в окружность четырёхугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон, следовательно, для прямоугольника можно записать d² = a²+b². Так как S=a·b, то b=S/a, отсюда d² = a² + S²/a². Следовательно, S² = a²(d²-a²).

Для удобства будем рассматривать квадрат площади, так как при максимальном значении площади будет максимальным и её квадрат.

Длина диагонали вписанного в окружность прямоугольника равна диаметру этой окружности, поэтому S² = a²((2·20)²-a²) = a²(1600-a²) = 1600a²-a⁴

Для того, чтобы найти максимум или минимум функции, нужно взять от неё производную и приравнять к нулю.

 ( 1600a²-a⁴)' = 3200a-4a³

3200a-4a³ = 0

a(3200-4a²) = 0

a=0 - в этом случае никакого бруска не будет

3200-4a² = 0

a²=800

a = 20√2 см

Квадрат площади сечения в этом случае будет равен S² = 800·1600 - 800² = 640000 см⁴

Площадь будет равна S = √640000 = 800 см²

Длина второй стороны прямоугольника будет равна b = 800/20√2 = 20√2 см.

Для того, чтобы сечение балки было максимальным, нужно, чтобы оно представляло собой квадрат со сторонами 20√2 см, тогда площадь сечения будет равна 800 см².