Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Исследование функций,графики, minmax,производные » из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки если радиус сечения равен 20 см. 

из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки если радиус сечения равен 20 см. 

создана: 19.05.2013 в 14:20
................................................

 

:

Помогите пожалуйста... Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки если радиус сечения равен 20 см. 

 ( +1422 ) 
18.05.2013 08:55
Комментировать Верное решение
(баллы:+3)

Сечение балки по отношению к сечению бревна, из которого она вырезана, будем рассматривать как прямоугольник, вписанный в окружность.

Обозначим через a, b стороны прямоугольника, через d его диагональ, S - площадь прямоугольника (сечения).

Для вписанного в окружность четырёхугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон, следовательно, для прямоугольника можно записать d2 = a2+b2. Так как S=a·b, то b=S/a, отсюда d2 = a2 + S2/a2. Следовательно, S2 = a2(d2-a2).

Для удобства будем рассматривать квадрат площади, так как при максимальном значении площади будет максимальным и её квадрат.

Длина диагонали вписанного в окружность прямоугольника равна диаметру этой окружности, поэтому S2 = a2((2·20)2-a2) = a2(1600-a2) = 1600a2-a4

Для того, чтобы найти максимум или минимум функции, нужно взять от неё производную и приравнять к нулю.

 ( 1600a2-a4)' = 3200a-4a3

3200a-4a3 = 0

a(3200-4a2) = 0

a=0 - в этом случае никакого бруска не будет

3200-4a2 = 0

a2=800

a = 20√2 см

Квадрат площади сечения в этом случае будет равен S2 = 800·1600 - 8002 = 640000 см4

Площадь будет равна S = √640000 = 800 см2

Длина второй стороны прямоугольника будет равна b = 800/20√2 = 20√2 см.

Для того, чтобы сечение балки было максимальным, нужно, чтобы оно представляло собой квадрат со сторонами 20√2 см, тогда площадь сечения будет равна 800 см2.

 

 
18.05.2013 12:26
Комментировать

Спасибо больше)))))))))

Хочу написать ответ