Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Испытания Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события в серии испытаний Бернулли. Задачи.

создана: 12.11.2014 в 06:58
................................................

 ( +2902 ) 

:

Испытания Бернулли. 

Проводятся n опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью p (или не произойти — «неудача» — с вероятностью q=1-p).

Задача — требуется  найти вероятность получения ровно m успехов при проведении n опытов.

Решение:    P =Cnm pm(1-p)(n-m)

 Сnm = n! / ( m!*(n-m)! ) ,             k!=1*2*3*...*(k-1)*k

*******************************************************************

Примеры.

№ 1. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность что число 3 выпадет ровно два раза?

Решение.

При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а  вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6. 

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.  

 Рn(m)=Сnm pm(1-p)n-m,   где        n=10,  m=2

Р= С102 ·(1/6)2 ·(5/6)8 = 10!/ (8!*2!)* 58/610 = 45*58/610 ≈0,29

 ( +2902 ) 
17.08.2013 09:58
Комментировать

№ 2. Найдите вероятность наступления ровно 3 успехов в 8 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p =1/2

Решение. Вероятность успеха =1/2, а вероятность не успеха  равна 1-1/2=1/2.

Р8(3) = С83*(1/2)3*(1/2)5 = 8!/(3!*5!) * (1/2)8 = 8*7/256 = 7/32 ≈0,219


№ 3. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:

1) 4 раза;

2) не менее 4 раз.

Решение. 

1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.

Испытания Бернулли.

Р = С104 *(1/2)4*(1-1/2)10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2)10 = 10*9*8*7/(2*3*4) /210 = 210/1024 =

= 0,205078125≈ 0,205

2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз".

Проще найти вероятность противоположного события (неА): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу.  Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.

Р(3) = С103 *(1/2)10 = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024

Р(2) = С102 *(1/2)10 = 10*9/2 /1024 = 45/1024

Р(1) = 10*(1/2)10 = 10/1024

Р(0) = 1*(1/2)10 = 1/1024

Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875

Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125


№ 4. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Решение.

Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.

Р= С64*(1/4)2(5/6)6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6)4 = 15/16* 625/1296≈ 0,452


№ 5. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение.  Вероятность изготовить стандартную деталь равна  1-0,11=0,89

По формуле Бернулли

Р=С54*0,894*0,111 = 5!/(4!*1!) *0,894*0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451

 ( +2902 ) 
13.03.2014 22:45
Комментировать

Задачи на нахождение наивероятнейшего числа наступления события в серии испытаний Бернулли.

№ 1.

Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?

Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытаний n=46.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  р=1/6,    q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6

41/6 ≤ m ≤ 47/6

6,8 ≤ m ≤ 7,8

Ответ:  7.


№ 2.

 Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?

Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытаний n=21.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  3/6=1/2.

р=1/2,    q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5

10 ≤ m ≤ 11

Ответ: 10;  11.


№ 3.

Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.

Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3

np-q ≤ m ≤ np+p    m-наивероятнейшее число наступления события А.

n=16  p=1/3   q=2/3

16*1/3 - 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3

14/3  ≤ m ≤ 17/3

4,7  ≤ m ≤ 5,6                   m=5

Ответ: 5

 ( +2902 ) 
03.05.2015 15:25
Комментировать

№ 4. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100 изделий.

Решение.  Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А  р=0,87, вероятность не наступления события А  q=1-0,87=0,13.

n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).

m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта

        np-q ≤ m ≤ np+p

100*0,87 - 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87

87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87

m=87

 ( +2902 ) 
11.10.2015 21:12
Комментировать

№ 5. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника  три партии из четырех или пять их восьми?

Решение.

 1-й случай. Играют 4 партии. Исходом считаем цепочку из четырех символов - нулей и единиц (0 - проигрыш, 1 - выигрыш). Таких цепочек (исходов вида 0000, 0001,  0010 ...) будет 24 = 16. 

Благоприятных исходов (1110, 1011, 1101, 0111) будет 4.

Р= 4/16 = 0,25

2-й случай. Играют 8 партий. Всего исходов 2=256.  

Благоприятных исходов С85 = 8!/(3!*5!)=8*7*6/6=56

Р = 56/256 = 5/16 = 0,21875

Ответ: вероятнее выиграть три из четырех.

Решение с помощью схемы Бернулли.

Вероятность выигрыша  и проигрыша в одной партии равна 1/2.

Р1= С4*0,53*0,54-3 = 4!/(3!*1!) *0,54 = 4* 1/16 = 0,25

Р2 = С85 *0,55*0,58-5 = 56 *0,58 = 0,21875


 

№ 6. Что вероятнее, выиграть не менее трех партий из четырех или не менее пяти их восьми?

Решение.

Не менее трех партий из четырех означает выигрыш в 3-х или 4-х партиях из четырех.

Р(3,4)= С43*0,54 + С44*0,54 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

не менее пяти из восьми означает выигрыш в пяти или шести или семи или восьми партиях.

Р(5-8)= С85*0,58 + С86*0,58 + С87*0,58 + С88*0,58 =

= 0,58( 8!/ 5!*3! + 8!/ 6!*2! + 8!/ 7!*1! + 8!/8! ) = 1/256 * (8*7 + 8*7/2 + 8+1) = 1/256 * 93 = 0,36328125

Хочу написать ответ