Вопросы»Испытания Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события в серии испытаний Бернулли. Задачи.|Поступи в ВУЗ

Проводятся n опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью p (или не произойти — «неудача» — с вероятностью q=1-p).

Задача — требуется найти вероятность получения ровно m успехов при проведении n опытов.

Решение: P =C_n^m p^m(1-p)^(n-m)

С_n^m = n! / ( m!*(n-m)! ) , k!=1*2*3*...*(k-1)*k

*******************************************************************

Примеры.

№ 1. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность что число 3 выпадет ровно два раза?

Решение.

При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6.

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.

Р_n(m)=С_n^m p^m(1-p)^n-m, где n=10, m=2

Р= С₁₀² ·(1/6)² ·(5/6)⁸= 10!/ (8!*2!)* 5⁸/6¹⁰ = 45*5⁸/6¹⁰ ≈0,29

liliana

( +3192 ) 17.08.2013 09:58	Комментировать
№ 2. Найдите вероятность наступления ровно 3 успехов в 8 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p =1/2 Решение. Вероятность успеха =1/2, а вероятность не успеха равна 1-1/2=1/2. Р₈(3) = С₈³(1/2)³(1/2)⁵ = 8!/(3!5!) (1/2)⁸ = 87/256 = 7/32 ≈0,219 № 3.* Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет: 1) 4 раза; 2) не менее 4 раз. Решение. 1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2. Испытания Бернулли. Р = С₁₀⁴ (1/2)⁴(1-1/2)^10-4 = 10!/(4!6!) (1/2)¹⁰ = 10987/(234) /2¹⁰ = 210/1024 = = 0,205078125≈ 0,205 2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз". Проще найти вероятность противоположного события (неА): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу. Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз. Р(3)* = С₁₀³ (1/2)¹⁰ = 1098/6 /1024 = 120/1024 Р(2)* = С₁₀² (1/2)¹⁰= 109/2 /1024 = 45/1024 Р(1) = 10(1/2)¹⁰ = 10/1024 Р(0)* = 1(1/2)¹⁰ = 1/1024 Р(не А)* = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875 Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125 № 4. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза? Решение. Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли. Р= С₆^4(1/4)²(5/6)^6-2 = 6!/(4!2!)* 1/16 * (5/6)⁴ = 15/16* 625/1296≈ 0,452 № 5. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных. Решение. Вероятность изготовить стандартную деталь равна 1-0,11=0,89 По формуле Бернулли Р=С₅⁴0,89⁴0,11¹ = 5!/(4!1!) 0,89⁴0,11= 50,6274*0,11=0,3451

liliana

( +3192 ) 13.03.2014 22:45	Комментировать
Задачи на нахождение наивероятнейшего числа наступления события в серии испытаний Бернулли. № 1. Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки? Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытаний n=46. При одном испытании вероятность наступления события А равна р=1/6, q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6). Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной р в одном испытании) и определяется соотношением np-q ≤ m ≤ np+p *461/6 -5/6 ≤ m ≤ 461/6 +1/6* 41/6 ≤ m ≤ 47/6 6,8 ≤ m ≤ 7,8 Ответ: 7. № 2. Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков? Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытаний n=21. При одном испытании вероятность наступления события А равна 3/6=1/2. р=1/2, q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6). Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной р в одном испытании) и определяется соотношением np-q ≤ m ≤ np+p *210,5 -0,5 ≤ m ≤ 210,5 +0,5* 10 ≤ m ≤ 11 Ответ: 10; 11. № 3. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем. Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16. При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3 np-q ≤ m ≤ np+p m-наивероятнейшее число наступления события А. n=16 p=1/3 q=2/3 161/3 - 2/3 ≤ m ≤ 161/3 + 1/3 14/3 ≤ m ≤ 17/3 4,7 ≤ m ≤ 5,6 m=5 Ответ: 5

liliana

( +3192 ) 03.05.2015 15:25	Комментировать
№ 4. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100 изделий. Решение. Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А р=0,87, вероятность не наступления события А q=1-0,87=0,13. n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий). m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта np-q ≤ m ≤ np+p 1000,87 - 0,13 ≤ m ≤ 1000,87 + 0,87 87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87 m=87

liliana

( +3192 ) 11.10.2015 21:12	Комментировать
№ 5. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять из восьми? Решение. 1-й случай. Играют 4 партии. Исходом считаем цепочку из четырех символов - нулей и единиц (0 - проигрыш, 1 - выигрыш). Таких цепочек (исходов вида 0000, 0001, 0010 ...) будет 2⁴ = 16. Благоприятных исходов (1110, 1011, 1101, 0111) будет 4. Р= 4/16 = 0,25 2-й случай. Играют 8 партий. Всего исходов 2⁸=256. Благоприятных исходов С₈⁵ = 8!/(3!5!)=876/6=56 Р =* 56/256 = 5/16 = 0,21875 Ответ: вероятнее выиграть три из четырех. Решение с помощью схемы Бернулли. Вероятность выигрыша и проигрыша в одной партии равна 1/2. Р1= С₄³0,5³0,5^4-3 = 4!/(3!1!) 0,5⁴ = 4* 1/16 = 0,25 Р2 = С₈⁵ 0,5⁵0,5^8-5 = 56 0,5⁸ = 0,21875* № 6. Что вероятнее, выиграть не менее трех партий из четырех или не менее пяти их восьми? Решение. Не менее трех партий из четырех означает выигрыш в 3-х или 4-х партиях из четырех. Р_(3,4)= С₄³0,5⁴ + С₄⁴0,5⁴ = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 не менее пяти из восьми означает выигрыш в пяти или шести или семи или восьми партиях. Р_(5-8)= С₈⁵0,5⁸ + С₈⁶0,5⁸ + С₈⁷0,5⁸ + С₈⁸0,5⁸= = 0,5⁸( 8!/ 5!3! + 8!/ 6!2! + 8!/ 7!1! + 8!/8! ) = 1/256 (87 + 87/2 + 8+1) = 1/256 * 93 = 0,36328125

Хочу написать ответ

Темы

Задачи на нахождение наивероятнейшего числа наступления события в серии испытаний Бернулли.

№ 1.

№ 2.

№ 3.