По дорожке стадиона длиной 400м из одной точки одновременно в одном направлении выбегают три спортсмена скоростями 12 км/ч, 15 км/ч, 17 км/ч. Через какое наименьшее время они поравняются? Объясните пожалуйста
Представим себе двух бегунов со скоростями v1 и v2. Длина дорожки стадиона - L. Пусть для определенности v2 > v1. Тогда очевидно, через некоторое время t второй обгонит первого в первый раз, потом через 2t - во второй раз, а через nt - в n-ый раз. При этом встреча бегунов не обязательно совпадает со стартом!
Воспользуемся относительным движением, тогда второй, более быстрый бегун бежит относительно первого со скоростью (v2 - v1), при этом он
обгонит его 1-ый раз когда пробежит относительно первого один круг, т.е. L,
обгонит 2-ой раз, когда пробежит относительно первого два круга, т.е. 2L.
(v2 - v1)·t = nL (n - количество обгонов)
t = nL / (v2 - v1).
Напишем для каждой пары бегунов время:
L = 400 м = 0,4 км
v1 = 12 км/ч
v2 = 15 км/ч
v3 = 17 км/ч
Тогда t = n1 · 0.4 / (15-12) = n2 · 0.4 / (17-15) = n3 · 0.4 / (17-12), причём n1, n2, n3 - целые.
n1 · 0.4 / 3= n2 · 0.4 / 2 = n3 · 0.4 / 5
Отсюда видно, что n2 = 2n1 / 3 , а n3 = 5n1 / 3
При n1 = 3 получаем n2 = 2, n3 = 5. Очевидно, это наименьшее число обгонов n1, при котором n2, n3 являются целыми.
P.S. Также подойдут n1 = 6, 9 и другие кратные трём. Выбираем по условию наименьшее.
Тогда t = n1 · 0.4 / (15-12) = 3· 0.4 /3 = 0.4 ч = 24 мин.
