Сумма пяти членов арифметической прогрессии равна:
S₅ = (2 a₁ + d (5-1)) * 5 : 2 = (2a₁ + 4d) * 5 : 2 = (a₁ + 2d) * 5 = 75   >  (a₁ + 2d) = 15

a₁ = 15-2d  (1)

a₂ * a₅ = (a₁ + d) * (a₁ + 4d) = 232    (2)

Подставим (1) в (2):

(15 - 2d + d) * (15 - 2d + 4d) = 232

(15 - d) * (15+2d) = 232

225 - 15d - 2d² + 30d = 232

2d² - 15d + 7 = 0

D = 169; x1=7; x2=0,5

Т.к. d может быть только целым числом, то d=7.

Тогда a₁ = 15 - 2*7 = 1

а_n = a₁ + d · (n - 1)

106 = 1 + 7 · (n - 1)

106 = 1 + 7n - 7

7n = 112

n = 16

a₁₆ = 106