Школьникам, студентам и учителям

Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Главная
Вопросы-ответы
Новости
О профессиях
Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА

Вопросы » Комбинаторика,вероятность » Помогите решить задачу: Десять команд участвуют в футбольном турнире.

Помогите решить задачу: Десять команд участвуют в футбольном турнире.

создана: 14.05.2011 в 13:24
................................................

  

:

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу! Зарание спасибо

Десять команд участвуют в футбольном турнире. Докажите, что независимо от расписания игр всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

 ( +1708 ) 
28.03.2011 03:01
 Комментировать

В условии не указаны ограничения. Без них я легко могу доказать, что можно составить расписание таким образом, что не будет двух команд, сыгравших одинаковое количество матчей.

Допустим, берём команду под номером десять и предписываем играть ей с первой командой один матч, со второй - два матча, с третьей - три, и так далее до девятой команды, с которой десятая сыграет девять матчей. Тогда получится, что команды с первой по девятую сыграют количество матчей, равное их номеру, а десятая команда проведёт 45 матчей. И не будет в этом случае двух команд, сыгравших одинаковое количество матчей.

Так что какое-то ограничение в условии должно быть. Вероятней всего такое ограничение - это что каждая команда не может играть с другой командой более одного раза.
 ( +3192 ) 
28.03.2011 11:38
 Комментировать

Здесь имеется в виду, что при любом расписании есть 2 команды.

И похоже -  в любой момент времени после начала турнира.

Должно быть условие, что каждая играет с каждой по одному разу. Или они выбывают?
 ( +3192 ) 
28.03.2011 12:12
 Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

Если в турнире каждая команда играет с каждой, то каждая команда  должна провести не более 9 игр.

Предположим, что в какой-то момент времени все команды сыграли по несколько игр ( от 0 до 9), и у всех разное количество сыгранных игр.

Т.е. первая сыграла 1 игру, вторая - 2, третья - 3, ..., 10-я 0. Значит, на этот момент времени было сыграно всего (1+2+3+...+9+ 0) / 2 = ((1+9)*9/2) /2 = 45 / 2 =  22,5  игр.  А этого быть не может.

Возникает вопрос, почему делим на 2?

Так как каждая игра в сумме учитывается 2 раза ( 1-й со 2-м и 2-й с 1-м — это 1 игра, а подсчитали ее 2 раза.), то и делим на 2.

Значит, невозможно, что все команды на конкретный момент времени сыграют разное количество матчей, поэтому, хотя бы 2 имеют одинаковое количество игр.
 ( +1708 ) 
28.03.2011 15:26
 Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

Можно ещё объяснить следующим образом. Если каждая команда с каждой другиой играет не более одного раза, то максимальное количество игр, сыграное одной командой, не может быть больше 9.  Для набора из десяти команд количество игр может быть только от 0 до 9. Для того, чтобы команды сыграли разное количество матчей, нужно сделать так, что первая команда играет 0 матчей, вторая - один матч и т.д., 10 команда играет 9 матчей.

НО! Если какая-то команда играет 9 матчей, то это значит, что она сыграет со ВСЕМИ остальными командами. То есть не будет команды, проведшей 0 матчей. А это, в свою очередь, значит, что будут хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. То есть из набора количества матчей исключается проведение 0 матчей, и на 10 команд остаётся только 9 возможных количеств игр. Так что какое-то количество игр должно хотя бы раз повториться.

Правда, такое объяснение больше логическое, нежели математическое.
 ( +3192 ) 
28.03.2011 16:08
 Комментировать

Вообще-то эта задача из раздела комбинаторики. Сейчас ввели элементы теории вероятности, перестановки, сочетания и пр. в 7-9 кл. Совсем чуть-чуть.

Но многие учителя эти темы пропускают. Для большинства - просто трата времени.

 
Хочу написать ответ
support@postupivuz.ru | Краснодарский край, ст.Каневская +7(861 64) 7-26-68 | сот. +7(928)406-05-02
Яндекс.Метрика
размещение рекламы