Начертим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Затем возьмём ещё три конгруэнтных ему треугольника и расположим их следующим образом, соединив вершинами:
Получился квадрат со сторонами a+b. Внутри него расположен квадрат, состоящий из гипотенуз треугольников. То, что внутренний четырёхугольник - квадрат, можно доказать следующим образом.
В прямоугольном треугольнике сумма двух углов, которые не прямые, равна 180 - 90 = 90 градусов. Но равные им углы лежат на стыках треугольников, значит, их сумма равна тоже 90 градусов. Стороны a и b соседних треугольников расположены на одной прямой, то есть угол между ними равен 180 градусов. Следовательно, угол внутреннего четырёхугольника равен 180 - 90 = 90 градусов. Это утверждение справедливо и для остальных трёх углов. Таким образом, внутренний четырёхугольник - прямоугольник, а так как у него стороны одинаковы (равны с), то этот прямоугольник - квадрат.
Площадь внутреннего квадрата равна разности площади большого квадрата и площадей всех четырёх треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна ab/2. Площадь большого квадрата равна (a+b)2. Площадь внутреннего квадрата тогда будет (a+b)2 - 4·ab/2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab = a2 + b2.
Но площадь внутреннего квадрата также равна с2. Отсюда следует, что c2 = a2 + b2.
Возьмём на этот раз два конгруэнтных треугольника со сторонами a, b, c. Расположим их следующим образом:
У нас получилась прямоугольная трапеция с основаниями a и b, как бы лежащая на боку.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. У получившейся трапеции высота будет равна a+b, а площадь, таким образом, составляет (a+b)(a+b)/2.
Но площадь имеющейся трапеции также равна сумме треугольников, из которых она состоит. Состоит она из двух конгруэнтных прямоугольных треугольников, которые мы взяли (синий цвет) и одного треугольника с катетами, равными с (белый цвет). Белый треугольник тоже прямоугольный (доказательство, что угол, лежащий на стыке треугольников - прямой, см. в предыдущем сообщении). Площадь синего треугольника равна ab/2, площадь белого треугольника равна с·с/2. Тогда площадь трапеции равна ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab + c2/2
Приравниваем оба получившихся для площади выражения друг к другу:
ab + c2/2 = (a+b)(a+b)/2 - умножим обе части на 2:
