Графиком будет кривая в форме синусоиды. Так как функция квадратичная, то отрицательных значений она не принимает. Максимальное значение для синуса равно 1, значит, для sin2 оно будет равно 12=1. Минимальное значение равно 02=0.
Теперь нужно найти точки, в которых данная функция принимает наименьшее и наибольшее значения.
Наименьшее значение:
sin2(x√(1+x)) = 0
sin(x√(1+x)) = 0
x√(1+x) = kπ, где k=0, 1, 2, ...
x2(1+x) = k2π2
x3 + x2 - k2π2 = 0
Получилось кубическое уравнение, которое можно решить по формулам Кардано. Оно имеет один действительный корень:
x = (3√(108kπ+12√(81k2π2-12))/6 + 2/3√(108kπ+12√(81k2π2-12)))2 - 1
Определим, какие значения принимает k:
0·√(1+0) = kπ
k = 0 - наименьшее значение
5·√(1+5) = kπ
k = [5√6/π] = 3 (квадратные скобки - знак целой части числа) - наибольшее значение
Находим значения х для k от 0 до 3:
k=0 => x=0
k=1 => x≈1,86
k=2 => x≈3,1 - в этих точках функция равна 0
k=3 => x≈4,2
Теперь нужно найти точки, в которых данная функция принимает наибольшее значение.
sin2(x√(1+x)) = 1
1 - cos2(x√(1+x)) = 1
cos2(x√(1+x)) = 0
x√(1+x) = π/2 + kπ
x2(1+x) = π2/4 + kπ2 + k2π2
x3 + x2 - π2/4 - kπ2 - k2π2 = 0
Снова нужно решить кубическое уравнение. Получается:
x = (3√(108kπ+54π+6√(324k2π2+324k2π+81π2-48))/6 + 2/3√(108kπ+54π+6√(324k2π2+324k2π+81π2-48)))2 - 1
Определим, какие значения принимает k:
0·√(1+0) = π/2 + kπ
kπ = -π/2
k = [-1/2] = 0 (k не может принимать отрицательные значения)
5·√(1+5) = π/2 + kπ
k = [5√6/π - 1/2] = 3 - наибольшее значение k
Находим значения х для k от 0 до 3:
k=0 => x≈1,1
k=1 => x≈2,5
k=2 => x≈3,6
k=3 => x≈4,6
Нужно также ещё найти значения функции на концах отрезка:
