Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник.
Основание (горизонтальная сторона) прямоугольника равно длине окружности основания цилиндра,
а боковая (вертикальная) сторона равна высоте цилиндра.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения друг с другом делятся пополам.
Половины диагоналей до своего пересечения и сторона прямоугольника образуют
равнобедренный треугольник. По теореме косинусов найдём сторону прямоугольника:
b = √((a/2)²+(a/2)²-2·(a/2)·(a/2)·cos(2α))=

= √(2(a/2)²-2(a/2)²·cos(2α)) = (a/2)·√(2(1-cos(2α)))

Так же найдём и другую сторону прямоугольника, учитывая, что угол при вершине
треугольника между диагоналями составляет 180°-2α:

c= √((a/2)²+(a/2)²-2·(a/2)·(a/2)·cos(180°-2α)) =

= √(2(a/2)²-2(a/2)²·(-cos(2α))) =(a/2)·√(2(1+cos(2α)))

Из формулы длины окружности L=2πR найдём радиус окружности:

R=L/2π=b/2π=(a/2)·√(2(1-cos(2α)))/2π.

Тогда площадь круга (основания цилиндра) равна

S=πR²=π·((a/2)·√(2(1-cos(2α)))/2π)²=a²·(1-cos(2α))/8π

Объём цилиндра равен произведению основания цилиндра на его высоту.

V=S·c=(a²·(1-cos(2α))/8π)·(a/2)·√(2(1+cos(2α)))=

= a³·√(2(1-cos(2α))²(1+cos(2α)))/16π =

 = a³·√(2(1-cos²(2α))(1-cos(2α)))/16π = a³·√(2sin(2α)(1-cos(2α)))/16π =

= a³·√(2sin²(2α)(1-(cos²(α)-sin²(α)))/16π = 

= a³·√(2sin²(2α)(sin²(α)+sin²(α)))/16π = a³·sin(α)*sin(2α)/8π

= a³sin²a·cosa /(4п)