9^x - 3^x + 1 + 3a - a² = 0

Замена 3^x = t > 0

t² - t + 1 + 3a - a² = 0

Каждому положительному корню данного уравнения t соответсвует один корень x исходного.

Поэтому необходимо рассмотреть случай, когда уравнение t² - t + 1 + 3a - a² = 0 имеет два положительных корня.

В приведённом квадратном уравнении: p = -1; q = 1 + 3a - a²

1) D = 1 - 4(1 + 3a - a²)>0

2) x₁ + x₂ = -p = 1 > 0 Верно

3) x₁ * x₂ = q = 1 + 3a - a² > 0

Рассмотрим систему:

1-4-12a+4a²>0           4a² -12a -3 > 0

a²-3a-1<0                  a²-3a-1<0

1) 4a² -12a -3 > 0

D₁ = 12² + 4*4*3 = 12(12+4)=12*16 = 3*64

a₁₂ = (12±8√3)/8 = (3±2√3)/2

Корень: a₁ = (3+2√3)/2 = (3+√12)/2 > 0

Корень: a₂ = (3-2√3)/2 = (√9-√12)/2 < 0

2) a² - 3a - 1<0

D₂ = 9+4 = 13

a₃₄ = (3±√13)/2

Корень: a₃ = (3+√13)/2>0

Корень: a₄ = (3-√13)/2 =(√9-√13)/2 <0

Из положительных корней a₃=(3+√13)/2  >  a₁=(3+√12)/2

Из отрицательных корней a₂ =(√9-√12)/2 > a₄ = (√9-√13)/2

Тогда

_______________+____________a₂_____-_____a_{1___________+_________>}

___+_____a₄__________________-________________________a₃____+____>

Тогда a € (a₄; a₂) U (a₁; a₃)

Ответ: a € ((3-√13)/2; (3-2√3)/2) U ((3+2√3)/2; (3+√13)/2)