Так как треугольник АВС прямоугольный по условию, то по теореме Пифагора |AB|²=|AC|²+|BC|²=4²+3²=9+16=25 см.

Отрезок CN является перпендикуляром к стороне АВ, следовательно, треугольники ACN и BCN - прямоугольные. Снова применим теорему Пифагора:

|AN|=√(|AC|²-|CN|²);  |BN|=√(|BC|²-|CN|²)

|AB|²=(|AN|+|NB|)²=(√(|AC|²-|CN|²)+√(|BC|²-|CN|²))²

(√(9-|CN|²)+√(16-|CN|²))²=25

9-|CN|²+2√((9-|CN|²)(16-|CN|²))+16-|CN|²=25

25-2|CN|²+2√(144-9|CN|²-16|CN|²+|CN|⁴)=25

2√(144-25|CN|²+|CN|⁴)=2|CN|²

√(144-25|CN|²+|CN|⁴)=|CN|²

144-25|CN|²+|CN|⁴=|CN|⁴

25|CN|²=144

|CN|² = 144/25

|CN| = 12/5 = 2,4 см

Отрезок МС является перпендикуляром к плоскости АВС по условию, значит, он перпендикулярен и отрезку CN. Таким образом, треугольник MNC также прямоугольный. Ещё раз используем теорему Пифагора.

|MN| = √(|CN|²+|MC|²) = √(2,4²+2,6²) = √313/50 ≈ 3,54 см

Ответ: расстояние от точки М до гипотенузы треугольника АВС равно 3,54 см.