Вопросы»Решение квадратных уравнений и Теорема Виета|Поступи в ВУЗ

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b,c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта $D = b 2 - 4 a c :$

при $D > 0$ корней два, и они вычисляются по формуле:

X₁=(-b +(b²-4ac)^1/2)/(2a)

X₂=(-b -(b²-4ac)^1/2)/(2a)

при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

X_1,2=-b/(2a)

при $D < 0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

X₁=(-b +i (-b²+4ac)^1/2)/(2a)

X₂=(-b -i (-b²+4ac)^1/2)/(2a)

liliana

( +3192 ) 16.01.2010 21:25	Комментировать
Решать квадратные уравнения умеют практически все школьники. Если коэффициенты большие или дробные, то они прибегают к помощи калькулятора. Практические советы по решению квадратных уравнений вида ax² + bx + c = 0. Если коэффициенты дробные, то домножить обе части уравнения на общий знаменатель. Если целые коэффициенты имеют общий множитель, то разделить на него все коэффициенты. Если коэффициент при x² отрицательный, то умножьте все коэффициенты на минус 1. Расположите все члены уравнения в порядке убывания степеней. Эти рекомендации можно и не выполнять, но они вам упростят решение уравнения. Если в квадратном уравнении a=1 (коэффициент при x²), то оно называется приведенным. Для таких уравнений применима Теорема Виета: Если приведенное квадратное уравнение x² + bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, то произведение корней равно свободному члену, а их сумма равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком. x1 · x2 = c, x1 + x2 = —b. Рассмотрим на примере. x² - 7x + 12 =0. D=7² — 4·12 = 1 >0, уравнение имеет корни. Претенденты на роль корней это 2 числа, которые в произведении дают 12. Причем, знаки у них одинаковые (либо оба +, либо оба -). Но так как их сумма x1 + x2 = +7, значит, они положительны. Какие это пары? 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Но только 3+4=7, значит, корни x1=3, x2=4. Еще пример. x² + x — 12 =0. Корни имеют разные знаки, т.к. их произведение равно -12. Например, такие пары: 1 и -12 или -1 и 12 или 2 и -6 или -2 и 6 или 3 и -4 или -3 и 4. Проверим, какая пара в сумме дает -1. Это 3 и -4. Ответ: x1=3, x2=-4. Рекомендую проверить полученные корни. Подставьте их в исходное уравнение и убедитесь, что левая часть равна 0.

Aiek

09.09.2012 16:03	Комментировать
^{х2+9х-22=0 по теореме виета}

liliana

( +3192 ) 09.09.2012 16:28	Комментировать
-11 ; 2 22=2*11, но т.к. в уравнениии с= -22, то корни с разными знаками. пробуем 11 и -2 сумма 9, а должна быть -9, т.к. b=9 -11 и 2 в сумме -9 - верно.

iraogy

07.01.2016 18:18	Комментировать
12x^2 + 7х – 12 = 0 по теореме Виета решите,пожалуйста

liliana

( +3192 ) 14.01.2016 19:40	Комментировать
Теорему Виета применяют для приведенных уравнений, таких, у которых коэффициент при х² равен 1. Типа х²+6х+8=0 Если уравнение имеет не целые корни, то подобрать их с помощью т.Виета не всегда удается. Ваше уравнение: 12х² +7х -12 = 0 D= 49+41212=625 x1,2 = (-7±25)/24 x1=-32/24=-4/3 x2= 18/24= 3/4 Можно применить т.Виета для проверки корней. Сделаем уравнение приведенным (разделим коэффициенты на 12): х² + 7/12 х -1 = 0 a=1 b= 7/12 c=-1 х1+х2= -4/3 +3/4 = -16/12 + 9/12 = -7/12 = -b *x1x2=** -4/3 * 3/4 = -1 = c Всё верно. Можно, конечно решать составлением системы. х² +7/12 х -1 = 0 По теореме Виета: х1+х2 = -7/12 (1) *х1х2= -1 (2)** Из (1): х1= -7/12 -х2 Подставим в (2): (-7/12 х -х2)*х2=-1 Получим квадратное уравнение для х2 такое же, как было вначале.

liliana

( +3192 ) 16.01.2010 23:02	Комментировать
А теперь тест №1. Найдите корни уравнений по теореме Виета. x² + 8x + 7 = 0 x²- 11x + 28 = 0 x² - 9x + 18 = 0 x² +16x + 63 = 0 x² - 10x + 16 = 0 x² - 12x + 27 = 0 x² + 12x + 32 = 0 x² - 13x + 30 = 0 x² - 11x + 18 = 0 x² + 4x + 3 = 0 x² - 8x - 9 = 0 x² + x - 2 = 0 x² - 6x - 40 = 0 x² + 4x - 32 = 0 x² - 36 = 0 x² + x - 12 = 0 x² + 8x - 20 = 0 x² - x - 6 = 0 x² + 2x +1 = 0 x² + 4x + 4 = 0

liliana

( +3192 ) 16.01.2010 23:30	Комментировать
Тест №2. 1. Если вас попросят, не решая уравнение, определить, имеет ли оно корни, то вы: А) Попытаетесь подобрать их, пользуясь теоремой Виета. Б) Угадаете. В) Вычислите дискриминант. Г) Все-таки решите уравнение. 2. Определите знаки корней уравнения, если они существуют, не решая уравнения x² - 15x +54 = 0 А) Корни имеют разные знаки. Б) Оба корня положительные. В) Оба корня отрицательные. Г) Уравнение корней не имеет. 3. Определите знаки корней уравнения 2x²+ 36x -126 = 0 А) Корни имеют разные знаки. Б) Оба корня положительные. В) Оба корня отрицательные. Г) Уравнение решений не имеет. Ответы на Тест №1: 1. -7;-1 2. 4;7 3. 3;6 4. -7;-9 5. 2;8 6. 9;3 7. -4;-8 8. 10;3 9. 9;2 10. -3;-1 11. -1;9 12. -2;1 13. -4;10 14. -8;4 15. 6;-6 16. -4;3 17. 2;-10 18. 3;-2 19. -1;-1 20. -2;-2 Ответы на тест № 2: 1 - В, 2 - Б, 3 - А.

liliana

( +3192 ) 17.01.2010 12:02	Комментировать
Соотношение между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения x² + bx + c =0. x₁² + x₂² = (x₁+ x₂)² - 2x₁ x₂= b²- 2c. Тест №3 1. Квадратное уравнение, корни которого равны (-4x₁) и (-4x₂), где x₁, x₂ - корни уравнения x² - 4x + 1 = 0, имеет вид x² - bx + c = 0. Найдите значение b-c. 2. Квадратное уравнение, корни которого на единицу меньше корней уравнения x²- 6x + 3 = 0, имеет вид x² - bx + c = 0. Найдите значение b-c. Ответы на Тест №3: 1. 4 2. 1 Продолжение будет...

anechka07

( +1026 ) 28.01.2010 15:41	Комментировать
pppp

liliana

( +3192 ) 31.01.2010 20:01	Комментировать
И что это значит? А между прочим, по вопросам КВУР и теоремы Виета заходят довольно часто. Искали: 1 Как определить знаки корней, не решая уравнения. 2 Теорема Виета и пр. Но самое интересное, что к нам на сайт зашли в надежде "... прослушать звуки глушителя" Яндекс их направил на страницу Новости/ Ученикам/ Европа начала борьбу с плеерами http://www.postupivuz.ru/news/27.htm

anechka07

( +1026 ) 04.02.2010 11:35	Комментировать
это я язык показываю тем, кто так и не смог в этом разобраться :-P

misha-d

( +53 ) 02.09.2010 23:05	Комментировать
Как найти сумму кубов корней из теоремы Виета?

SOVA

( +958 ) 02.09.2010 23:14	Комментировать
X1³ + X2³= (X1 + X2)(X1² -X1·X2 +X2²) = (X1+X2)(X1² +2X1·X2 +X2² - 3X1·X2)= = (X1 + X2)[(X1 + X2)² - 3X1·X2] = -b·(b² - 3c) = -b³ + 3bc.

Maxim_mozg

( +9 ) 15.05.2011 17:41	Комментировать
существует еще один способ решения квадратных ур-ний: ax²+bx+c=0 если b-четное, то можно взять коэфициен k=b/2 и в дальнейшем с ним работать.. в этом случае дискриминант будет в 4 раза меньше.. что позволит вам без труда извлекать корень.. D=k²-ac x1,2=(-k±√D) / a

Хочу написать ответ