Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы)
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.
Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками.
Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.
Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).
Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:
1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.
2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума.
ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x)
на отрезке [a;b].
1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.
2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).
3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].
4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x)
на интервале (a;b).
1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .
2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).
f ′(x) + – + a_________ x0____________x1______________ b
f (x) / \ /
3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).
Решение. у = 2(x-3)(x+1) + (x-3)2 =0, (x-3)*(2x+2+x-3) = 0,
(x-3)(3x-1)=0, x1=3, x0=1/3. x1 и x0 - критические точки.
у + – + ___________ 1/3 ___________3 ____________
у / ↓ /
Точка х0=хmax=1/3. Точка х1= хmin = 3 Ответ: 3.
№ 2. Найдите наибольшее значение функции
f ( x ) = 3sin x + 30х/π + 4 на отрезке [ − 5π/ 6 ; 0 ]
Решение. Найдем критические точки. f´(x)=3cos(x)+30/π=0; 3cos(x)=-30/π; cos(x)=-10/π, где π≈3.14. cos(x)=-3.18...
Но |cos(x)|≤1, значит уравнение решения не имеет. Это значит, что f´(x) не обращается в 0, а следовательно, функция f(x) не имеет критических точек.
Очевидно, что f´(x)>0 при любых x. Значит, f(x) возрастает на всей области определения, в т.ч. и на промежутке [-5π/6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0. f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4.
Ответ: 4.
Примечание: если не очевидно, что f´(x)>0 для всех х, то найдите значения f(x) на обоих концах промежутка и выберите наибольшее.
Пдскажите пожалуйста,у меня точно такое же уравнение,но без минуса в условии,то есть производная получилась 2+х+х^2. Дискриминант получается меньше нуля,как найти критические точки?
Лилиана, помогите пожалуйста решить задачу по математическому анализу. Буду очень Вам благодарна. "Найти асимтоты графика функции y=(x^2-3x)/(3x^2-2) "
Добрый день! Подскажите пожалуйста, не могу понять как Вы преобразовываете выражение y = (x2-3)/(x2+9) = (x2+9-12)/(x2+9) (это мне понятно, а вот дальше Вы пишете y = 1 -12/(x2+9), из чего следует такое выражение?
Здравствуйте!!!Помогите пожалуйста решить контрольную все сделала а это задание не могу вспомнить как решается!!!! Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график у=х3-12
y=x3-3x 
