Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Страница Админа. Функции, производные.Теория и задачи. Задание ЕГЭ №12 (В14).

создана: 17.03.2016 в 23:04
................................................

 ( +2815 ) 

:

Немного теории по данной теме.

 ( +2815 ) 
17.04.2011 00:13
Комментировать

Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы) 

  • Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).
  • Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).
  • Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.

  • Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками. 

Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.

Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:

1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.

2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума.

 


ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x)

                                          на отрезке [a;b].

 

1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.

2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).

3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].

4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 


 

ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x)

                                          на интервале (a;b).

1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .

2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).

f ′(x)                +                       –                        +
                 a_________ x0____________x1______________ b

f (x)                   /                       \                        /

3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).

4. x max = x0,           x min = x1.

5. y max = y(x0),       y min = y(x1).


 ( +2815 ) 
17.04.2011 00:16
Комментировать

Примеры:

№ 1. Найдите точку минимума функции у=(х-3)2(х+1).

Решение. у' = 2(x-3)(x+1) + (x-3)2 =0,   (x-3)*(2x+2+x-3) = 0,  

(x-3)(3x-1)=0,   x1=3,   x0=1/3.       x1 и x0 - критические точки. 

у'                 +                      –                         +
       ___________ 1/3 ___________3 ____________

у                 /                                                   /

Точка  х0=хmax=1/3.          Точка х1= хmin = 3                        Ответ: 3.

 


 

№ 2.  Найдите наибольшее значение функции

f ( x ) = 3sin x + 30х/π + 4  на отрезке [ − 5π/ 6 ; 0 ]

Решение. Найдем критические точки. f´(x)=3cos(x)+30/π=0;  3cos(x)=-30/π;  cos(x)=-10/π, где π≈3.14.   cos(x)=-3.18...

Но |cos(x)|≤1, значит уравнение решения не имеет. Это значит, что f´(x) не обращается в 0, а следовательно, функция f(x) не имеет критических точек.

Очевидно, что f´(x)>0 при любых x.  Значит, f(x) возрастает на всей области определения, в т.ч. и на промежутке [-5π/6; 0], а значит, своего наибольшего значения f(x) достигает на правом конце промежутка, т.е. при х=0.   f(0) = 3sin0 + 0 + 4 = 4. 

Ответ: 4.

Примечание:  если не очевидно, что f´(x)>0 для всех х, то найдите значения f(x) на обоих концах промежутка и выберите наибольшее.

 ( +2815 ) 
17.04.2011 00:20
Комментировать

№ 3. Прототип задания B11 (№ 77500)

Найдите точку максимума функции    у = −х/(х2+289)

Решение.

Применим ф-лу для нахождения производной частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v2 .

y =(-(x2 + 289)+x*2x) /(x2 +289)2 =0

-x2 - 289 + 2x2 =0  -->   x2 - 289 =0  -->  x =±17 - критические точки.

y' =(x2 - 289)/(x2 + 289)2  

y'           +                   –           •          +______

y            /       -17                   +17        /

  х = -17    - точка максимума



 

№ 4. Прототип задания B11 (№ 77499)

Найдите наименьшее значение функции  y = 3 - 5pi /4 + 5x - 5√2 ·sin x

на отрезке [0; pi/2]

Решение.

y'=5 - 5√2·cos x = 0,  cos x = 1/√2,  x = ±pi/4 +2pi·k,    k c Z.

Выберем те х, которые попали на заданный отрезок [0; pi/2].

k=0  x=pi/4 c отрезку   и  x =-pi/4 - не принадлежит отрезку.

k=1  x=2pi ± pi/4 - оба корня не принадлежат отрезку. При остальных k корни вне заданного отрезка.

y(0)= 3 - 5pi/4 ≈ -0,925

y(pi/2) = 3 - 5pi/4 + 5pi/2 - 5√2 = 3 + 5pi/4 - 5√2 ≈ -0,14

y(pi/4) = -5pi/4 +5pi/4 -5√2*sin(pi/4) = -5√2 * √2/2 = -5

Ответ:  -5.

 
06.05.2011 23:03
Комментировать

x^2+3x-4/x+1 исследовать функцию,производная,min max,убывание,возрастание,критич,график

 ( +2815 ) 
06.05.2011 23:47
Комментировать

если ты верно написал условие, то это график функции

у = x2 + 3x - 4/x  + 1. 

 ( +2815 ) 
06.05.2011 23:59
Комментировать

1) D(y)= (-∞;0)U(0; +∞).     При х=0 функция имеет разрыв.

2) E(y): R

3) y' = 2x+3 +4/x2 =0;  2x3 +3x2 +4 = 0;  2x3 +4x2 -x2 +4 = 0;  2x2(x+2) - (x+2)(x-2) = 0;

(x+2)(2x2-x +2) = 0;           x=-2 - единственная критическая точка.

y'         -                          +                     +

     ___________- 2___________0____________

y          \                           /                       /

4) Промежуток убывания:    (-∞; -2)

Промежутки возрастания:  (-2; 0),  (0; +∞)

5) хmin = -2;   ymin = 1.

 
07.05.2011 14:29
Комментировать

а я в 3 пункте производную находил вот так f(x)=[(2x+3)(x+1)-(x2+3x-4)]/(x+1)2=[x2+2x+7]/(x+1) 

а потом нашёл дискреминант x=1 и x=-4 ,

и дальше находил вторую производную,получилось -12x+14/(x+1)4   -12x+14=0  x=7/6 а дальше ерунда какая-то .ещё нужно построить таблицу           x,f′(x),f(x)

 ( +2815 ) 
09.05.2011 14:28
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

Ты написал условие неверно. Скобки надо ставить. Твое условие должно быть записано так:

у = (x2 + 3x - 4)/(x  + 1)

f'(x) = (x2+2x+7)/(x+1) = 0 

числитель в 0 не обращается, т.к. дискриминант меньше 0 (4-28<0)

Значит экстремальных точек нет.

1. D(y)= (-∞; -1)U(-1; +∞).     При х=-1 функция имеет разрыв.

2) E(y): R

3) Нули функции:  х=1 и х=-4 (это ты нашел правильно)

4) у'= (x2+2x+7)/(x+1)2 >0 для всех х. Значит, функция возрастает на промежутках (-∞; -1) и на (-1; +∞).


Можешь через точку (-1;0) x = -1 провести прямую параллельно оси ОY - это вертикальная асимптота

5. y'' = - 12/(x+1)4 в 0 не обращается  --> перегибов нет.

x (-∞;-1) -1 (-1;+∞)
y' +   +
y /   /
 
14.05.2011 15:26
Комментировать

спасибо большое!!

 
13.09.2011 18:18
Комментировать

помогите пожалуйста исследовать и построить график функции y=f(x).

y=x3-3x

 ( +2815 ) 
15.09.2011 21:28
Комментировать

 

    y=x3-3x  

D(y):  x€R

E(y): y€R

Нули функции: х(х2 -3)=0 --> x=0, x=±√3

Функция нечетная, т.к. у(х)=-у(-х)

критические точки. у'=0;  3x2 -3=0    --> x=1, x=-1

  y'       +            -            +

________-1_______1_______

 y    /    max         \   min        /

у(-1) = yma x= 2;   y(1) = ymin =-2

 
05.10.2011 16:43
Комментировать

Помогите, пожалуйста, найти производную функции. Буду Вам очень признательна. Спасибо заранее.

1. f(x) = (x+ 1/x- 3√x )3

2. f(x) = 3cos2x * tg22x

3. f(x) = lg  ((3x+1)/(3x-1))1/2

4. f(x) = 5 arctg (5x3 - 2)

 ( +2815 ) 
22.10.2011 23:43
Комментировать

1. f(x) = (x+ 1/x- 3√x )3

f '(x) = 3(x+ 1/x- 3√x )2*(2x - 2/x3 -1,5/√x)

2. f(x) = 3cos2x * tg22x        (uv)' = u' v + u v'

f '(x) = 3cos2x *ln3 * (-2sin2x)* tg22x + 3cos2x * 2tg2x* 2/cos22x

 
22.10.2011 22:29
Комментировать

помогите пожалуйста с задачами....вроде не сложные,но торможу по страшному...(

1.Найдите значение выражения f '(1)+f(1)если f(x)=корень из x(8x-5)

2.Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2-1:x(дробь)в точке с абсциссой x0=0.5

3.Найдите для функции y=x3+4x:a)промежутки возрастания и убывания.б)точки максимума и минимума

4.Известно,что f(x)=(x+4)(x-5) "в квадрате".Решите неравенство f'(x)>0

5.Функция f задана формулой y=x2+5x+a на промежутке [n;p].При каком значении a наименьшее значение функции fравно 2,если:1)n=1;p=5  2)n=-3;p=0.

 ( +2815 ) 
22.10.2011 23:23
Комментировать

№1. x(8x-5) - это всё под корнем?

Тогда f(x) = (8х2 -5х)1/2 

f '(x) = 1/2 * (8x2-5x)-1/2 * (16x-5)

f '(1) + f(1) = 1/2 * (8-5)-1/2 (16-5) + (8-5)1/2  = 0,5*1/√3 + √3


 

№ 2.  у=f(x0) + f ' (x0)*(x-x0) - ур-ие касательной                       x0=0,5

f(x)=2-1/x;   f(0,5) = 2 - 1/0,5 = 2-2 = 0

f '(x) = (2 - x-1)' = x-2 = 1/x2

f '(0,5) = 4

y  = 0+4(x-0,5);  y = 4x - 2


№ 3.  y=x3 + 4x

y ' = 3x2 +4 >0  при всех х. Значит у(х) возрастает при всех хС R.

y ' ≠ 0, следовательно max и min не имеет.

 


№ 4. f(x)=(x+4)(x-5)2

 f '(x) = 1*(x-5)2 + (x+4)*2(x-5) = ... Упростить и решить квадратное нер-во методом интервалов.

 
23.10.2011 10:37
Комментировать

спасибо большое!вы мне очень помогли!*

 
23.10.2011 10:49
Комментировать

помогите плиззз с производными...очень нужно...

1.Тело движется прямолинейно по закону x(t)=3t5+4t3+1 (x-в метрах,t- в секундах).Найдите его скорость в момент времени t,равный: 1) t-1;2)3/

2.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2x+6/x на промежутке [1;4]

3.Известно,что f(x)=3x+9/x.Решите уравнение f'(x)=0.

 ( +2815 ) 
24.10.2011 21:09
Комментировать

№ 1. V(t) = x '(t) = 15t4 +12t3 ;  v(t-1) = 15(t-1)4 +12(t-1)3

        V(3) = 15*34 + 12*33 = 15*81 + 112*27 = ...


№ 2.  f '(x) = 2-6/x2 = 0    -->   6/x2=2  -->  x2=3;    x = ±√3 - критические точки

f(1) = 2+6 = 8

f(4) = 8+6/4 = 9,5 - наибольшее

f(√3) = 2√3+6/√3 =2√3+2*3/√3 =4√3 ≈6,9 - наим.


№ 3.   f(x)=3x+9/x. f '(x) = 3-9/x2 = 0

9/x2 =3;  x2 =3; x = ±√3

 
25.10.2011 20:07
Комментировать

liliana помогите пожалуйста еще азочек...)

1.Найдите значение выражения f'(1),если f(x)=только x под корнем умноженное на (8x-5)/

2.Найти производную функции:

1)f(x)=(6x-1)(2x+3)

2)f(x)=x+9/4-2x

 заранее огромное спасибо!

 ( +2815 ) 
26.10.2011 22:37
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

1.  f(x)=√х (8x-5);      По ф-ле (uv) ' = u' v + uv'

f '(x) = 1/(2√x)·(8x-5) + √x ·8             Вместо х подставь 1.

f '(1) = 1/2 *3 + 8 = 9,5

2.  f(x)=(6x-1)(2x+3)          

f '(x)= (6x-1)' (2x+3) +  (6x-1)(2x+3)' = 6(2x+3) + (6x-1)*2 дальше раскрой скобки и приведи подобные.

f(x)=x + 9/ (4-2x) = x + 9(4-2x)-1

f '(x) = 1 - 9(4-2x)-2 *(-2) = 1 - 18 / (4-2x)-2

 ( +1 ) 
15.11.2011 19:10
Комментировать

Помогитепожалуйста исследовать функцию и построить график y=3x-x3\9

 ( +2815 ) 
17.11.2011 01:12
Комментировать

y' = 3-3x2/9 = 0   -->  x=-3,  x=3 - критические точки.

   -          +           -

____-3_______3_______

   \          /             \              x min=-3,   y min= -4

                                            x max=3,    y max= 6

Нули ф-ии: 3х - х3/9 = 0;  х(3-х2/9) = 0  -->   х=0, x=±3√3  

 
17.11.2011 01:54
Комментировать

Помогите пожалуйста найти интервалы возрастания и убывания функции g(x)=-6x^3-21x^2+10x-4 и найти точки минимума и максимума.Cry

 ( +2815 ) 
04.12.2011 21:34
Комментировать

g(x )= - 6x- 21x+ 10x - 4

g'(x) = -18x2 -42x + 10 = 0    Решить уравнение. Найти корни х1 и х2- критические точки.

Расставить знаки в интервалах

  -              +            -

_______х1_____х2_________   На интервалах (-оо; х1) и (х2; + оо) функция убывает,

на интервале (х1;х2)  функция возрастает.

х1 - точка минимума, х2 = точка максимума.

Найди х1 и х2 и подставь.


 
04.12.2011 01:29
Комментировать

f(x)= x^4-4x^2 на отрезке [-3;3]

производная 4x^3-8x; 4x(x^2-2), точки 0, +- корень из 2...

получается наименьшее знач на отрезках [-корень2;0]и[0;корень2] а наиб [-3;-корень2][корень2;3]- правильно я решила?

 ( +2815 ) 
04.12.2011 21:25
Комментировать

Ты нашла критические точки: х=-√2,  х=0,  х=√2.

Т.к. промежуток замкнутый, то надо просто вычислить значения в точках 3, -3 и критических.

у(-3) = (-3)4 -4(-3)2 = 45 - наибольшее

у(-√2)= 4-8 = -4 - наим.

у(0) = 0

у(√2) = -4 - наим.

у(3) = 45    - наибольшее значение

 
09.12.2011 11:30
Комментировать

Надо построить график функции: y=(x-1)/(x^2+1)

1.Надо ли искать дискриминант и корни?

2. Надо приравнивать числитель и знаменатель к 0?(по отдельности)

и что это вообще за график такой...

 ( +2815 ) 
10.12.2011 13:58
Комментировать

1) у=(х-1)/(х2+1)               y' =( (x2+1 - 2x(x-1)) / (x2+1)2 =0      

-x2+2x+1 = 0             x=1 ±√2  - критические точки.  

x1≈-0,4 -точка минимума                     у(х1)  и у(х2) найди самостоятельно.

х2≈2,4 - точка максимума 

2) Прределы функции при  х -->+ и -∞   равны 0. 

3) Нули функции:   у=0 при х=1

4) При х=0 у=-1

 
18.12.2011 20:41
Комментировать

помогите решить пожайлуста буду очень благодарна.найти дифференциал функции у=(1-х2)/(1+х2)

 ( +2815 ) 
21.12.2011 23:36
Комментировать

dy/dx = (-2x(1+x2) - 2x(1-x2))/(1+x)2 = -4x / (1+x2)2          

 
07.01.2012 23:48
Комментировать

Помогите пожалуйста найти производную функции y=(x2-1)/√x при x=4

 ( +2815 ) 
17.01.2012 23:31
Комментировать

у' = (2x*√x - (x2 -1)*1/(2√x) ) / (√x)2

y'(4) = (2*4*2 -15/4) / 4 = 49/16 = 3  1/16

 
09.02.2012 13:21
Комментировать

Помогите пожалуйства сконтрольной!!!!!Построить график функции g(x) и приблизительно определить значение корней уравнения x4 - 2x+ x2 - 12x + 20

 ( +2815 ) 
10.02.2012 13:10
Комментировать Верное решение
(баллы:+2)

Масштаб по оси ОХ  1:1, по оси OY   1:10

Корень 1:  х=2.

Найдем экстремум. y'= 4x3 -6x2 +2x -12 = 0

2x3 -3x2 +x -6 = 0

Один корень можно подобрать: х=2. Затем разделить левую часть на х-2.

А можно так: 

2x3 -4x2 +x2 -2х +3х -6 = 0

Затем сгруппировать по 2 члена.

2(x-2) +x(x-2) +3(x-2) = 0

(x-2)(2x2 +x +3) = 0   -->  х=2  - критическая точка, вторая скобка больше 0 при любых х.

Значит, при х>2  y'>0,  функция на этом промежутке возрастает.

При х<2      y'<0, функция убывает.

При х=2 функция имеет минимум уmin = 0.

 
11.02.2012 18:25
Комментировать

Пасибочки!!!!!!!!!!!!! Вы мне ну просто очеень помогли!!!! Времени не хватает котегорически на решения контрольных!!!!!!!!!!WinkEmbarassedSmile

 
11.02.2012 19:20
Комментировать

Помогите пожалуйста полностью исследовать функцию и построить график, очень нужно!!! y=x+27/x3

 ( +2815 ) 
14.02.2012 14:09
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

y= x + 27/x3

1 D(y): x≠0

2. Функция нечетная, т.к. у(-х) = -у(х), значит, график симметричен относительно начала координат.

3. y' = 1 -81/x4 =0;   x4 = 81;  x=3,  x=-3 -экстремальные точки.

у(3)= 4 = ymax,  у(-3) = -4 = ymin

у'>0 при   х С (-∞;-3) U(3;+∞),    у - возрастает

у'<0 при х С  (-3;0) U (0;3),  y - убывает

4. Нулей функция  не имеет.

5. При х -> 0 функция стремится к -∞ или +∞

 
14.02.2012 20:20
Комментировать

спасибо огромное!Smile

 
15.02.2012 13:58
Комментировать

помогите решить!!!! Построить 2 графика функций, не используя производных

1) Y = (|x| - |x – 1| + 2)

2) Y = arcsin (|1 +x|)

 ( +2815 ) 
15.02.2012 22:05
Комментировать Верное решение
(баллы:+3)

Y = (|x| - |x – 1| + 2) 

Нули модулей: х=0, х=1.

На числовую прямую наносим точки 0 и 1, Определяем вид ф-ции на каждом промежутке.

1) х<0   Y= -x +x-1+2 = 1

2) 0 ≤ x < 1      Y= x+x-1+2 = 2x+1

3) x≥0   Y=x-x+1+2 = 3

 ( +2815 ) 
15.02.2012 22:22
Комментировать

                                    

красный  y=arcsin x

отразим его от оси ОХ вверх, получим у=arcsin|x|

сдвинем на 1 влево, получим у=arcsin |1+x|

 
19.02.2012 18:09
Комментировать

СПАСИБО!

 
19.02.2012 17:51
Комментировать

Здравствуйте!!! Помогите пожалуйста найти производную функциq y=sin(3x-9). y=cos (9x-10), y=cos(n/3-4x), y=sin(5-3x). Заранее огромное спасибо

 ( +2815 ) 
19.02.2012 18:33
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

3cos(3x-9)

-9sin(9x-10)

4sin(n/3-4x)

-3cos(5-3x)

 
19.02.2012 18:40
Комментировать

Лилиана, а можно подробное решение.....не могу сообразить.....

 

 ( +2815 ) 
19.02.2012 18:57
Комментировать

Производная от синуса  это косинус, да еще и на коэффициент при х надо умножить.

Производная от косинуса это минус синус и на коэффициент при х также умножить.

(sin2x)'=2 *cos2x

(sin(2x+3))' = 2cos(2x+3)

 
19.02.2012 19:04
Комментировать

Спасибо большое за ответы ))

 
29.02.2012 10:39
Комментировать

помогите решить

найти наибольшее значение функции

y=(log5(121+4x-x2))-9

 ( +2815 ) 
03.03.2012 10:33
Комментировать

y=(log5(121+4x-x2)) - 9

ОДЗ:  121-4х -х2 >0;   D=10√5    x= -2± 5√5    xC (-2-5√5;  -2+5√5).

y ' = (4-2x) / ((121- 4x - x2)*ln5);   y ' =0  -->  4-2x=0;  x=0,5 - экстремальная точка

Рассмотрим знаки производной на области определения функции.

Слева от х= 0,5 y ' >0,  справа y' < 0.

Производная меняет знак с плюса на минус, значит, в точке х=-0,5 максимум.

у(0,5) = log5(123-0,25)  -9 = log5(122,75)  -9

 
16.03.2012 15:43
Комментировать

Помогите пожалуйста решить я просто не имею представления как решать

Функция у=(х-а)(х2-4) имеет максимум в точке х=-2/3.В какой точке у неё минимум?

 ( +2815 ) 
18.03.2012 13:48
Комментировать

№ 1. у = (х-а)*(х- 4);    а - число.
у' = - 4) + (x-a)*2x = 0
Получим у'= 3x2 - 2ax - 4 = 0  (1),   т.к. x= -2/3 - экстремальная точка, то она является корнем  уравнения (1).
Подставим х и найдем а. а=2.
y' = 3x2 - 4x - 4. 
Найдем второй корень уравнения у' = 0.  Он равен 2 - вторая экстремальная точка.
             +                                    -                      +
у' _______________-2/3_____________2_____________
y               /                 max         \             min            /

 
Получили, что     xmin = 2

Тогда у = (х - 2)(х2 - 4)

 
25.03.2012 16:59
Комментировать

 

 исследовать  методами  дифференциального  исчисления  функции y=f(x)  и,  используя  результаты  исследований, построить ее график.

y=(2x2-6)/(x-2) 

Помогите с решением

Заранее примного благодарен)

 

 ( +2815 ) 
26.03.2012 17:42
Комментировать

 ( +2815 ) 
26.03.2012 18:00
Комментировать Верное решение
(баллы:+2)

y=(2x2-6)/(x-2) 

1) D(y): x≠2

2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая.

3) Нули :  у=0  при   х=±√3

4) При х=0     у=3

5) Найдем экстремумы.

у'= (4x(x-2) - (2x2-6) / (x-2)2 = 0;    4x2-8x - 2x2+6 = 0;  x2- 4x- 3 = 0;

x1=1,  x2=3   -  экстремальные точки.

y'         +                   –                        −                          +

___________1___________o____________3______________

y          /       xmax      \           2               \     xmin         /          

xmax=1;   ymax= 4;        xmin=3;   ymin=12

6) Вертикальная асимптота х=2.

 
29.03.2012 11:58
Комментировать

Спасибо огромнейшее!!!

 
26.03.2012 19:51
Комментировать

помогите пожалуйста исследовать и построить график функции 

f(x) = х2√(1+ х)

 

 ( +2815 ) 
27.03.2012 03:12
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

f(x) = х2√(1+ х)

1) D(y):  x≥ -1

2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая.

3) Нули:    y=0     при х=0;     x= –1

4) y' = 2√(1+x) + 2x / (2√!1+x)) = (2+3x) / √(1+x) = 0

2+3x=0;  x=-2/3 - критическая точка

y'             –                                  +

_____________–2/3____________

y         \                   x min        /

x min = -2/3;   y min = 4/3 / √3 = 4√3 / 9.   

5) По точкам п.3 и п.4 строим график. Можно вычислить дополнительные значения

х=1   у= √2 ≈ 1,4

х=3   у= 18

 
27.03.2012 16:56
Комментировать

спасибки

 
14.05.2012 21:16
Комментировать

помогите пожалуйста решить дана функция f(x) =-х^3/3+х^2/2+2х-3. найдите ее критические точки

 ( +2815 ) 
15.05.2012 21:49
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

f(x) =-х3/3 +х2/2 +2х -3.

f' = -3x2/3 + 2x/2 + 2 =0

-x2 +x +2 = 0       x2 -x - 2 = 0   D=1+4*2=9

x1=(1+3)/2 = 2

x2=(1-3)/2= -1

Ответ:  2;  -1 - критические точки.

 
25.11.2012 18:32
Комментировать

Пдскажите пожалуйста,у меня точно такое же уравнение,но без минуса в условии,то есть производная получилась 2+х+х^2. Дискриминант получается меньше нуля,как найти критические точки?

 
09.04.2012 15:07
Комментировать

Помогите пожалуйста найти первую и вторую производные от этой функции :

15 - 10* cos2 ( πt\3)

заранее благодарен. 

 ( +2815 ) 
09.04.2012 18:22
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

у= 15 - 10* cos2 ( πt\3)

у' = -10*2cos( πt\3) *(cos ( πt\3))' = 

= -10*2cos( πt\3) *(-sin( πt\3)) *(π/3) = 10 sin(2πt/3) *(π/3)=  

      {применена ф-ла синус двойного угла}

= 10 π/3 *sin(2πt/3) 

y'' = 10 π/3 * cos(2πt/3) *2π/3 = 20π2/9 * cos(2πt/3)

 
20.05.2012 21:01
Комментировать

Огромнейшее спасибо!!! Вы спасли меня!!!

 
17.06.2012 13:48
Комментировать

 

Точка движется по дуге окружности радиусом R = 2 м по закону s = f(t)

заданному ниже (s – в метрах, t – в секундах), где s =  AM - расстояние точки M от некоторой точки (A),

измеренное вдоль дуги окружности.

Определить ускорение точки в момент времени t1  = 1 с.

Изобразить на рисунке векторы`V и`a для этого момента времени.  

s=-2cos((Пи/3)*t))   как из этого выражения извлекать 1 и 2 производную? Остольное сам пойму как решить

 ( +2815 ) 
21.06.2012 17:53
Комментировать

s = -2cos((Пи/3)*t)) 

v = s' = 2sin((П/3)*t)) *П/3 = 2П/3 *sin((П/3)*t)

a = v ' = 2П/3 cos((П/3)*t)) * П/3 = 2П2/9 * cos((П/3)*t)

 
25.07.2012 11:49
Комментировать

Даны функции y = f(x), где f(x) = 3/x. Решить уравнение f(x^2)-3 = 0.

 f(x) = 4/x. Решить уравнение f(x-1)-f(x+1) = 1.

f(x) = -4/x. Решить уравнение -f(x+2) = 4.

f(x) = 6/x. Решить уравнение f(x-2)-f(x+2) = 2.

Помогите решить, пожалуйста. Не могу понять, как это сделать.

 ( +2815 ) 
26.07.2012 14:33
Комментировать

№ 1.  f(x) = 3/x. Решить уравнение f(x2) -3 = 0.

Решение.

Если задана функция f(x) = 3/x и попросили бы найти f(1), то что надо сделать? Надо вместо х подставить единицу. Т.е. f(1)=3/1 =3.

Решим 1-е задание. Сначала вместо х в функцию подставим х2 .

f(x2) = 3/x2.

Получим уравнение 3/x2 -3 = 0;  3/x2 =3; x=±1

 ( +2815 ) 
26.07.2012 14:50
Комментировать

№ 2.  Надо решить 4/(x-1) - 4/(x+1) = 1

№ 3. -(-4/(x+2)) = 4;  4/(x+2)=4

№ 4. 6/(x-2) - 6/(x+2) = 2

Реши уравнения самостоятельно. Напиши ответы.

 
04.11.2012 20:43
Комментировать

известно что функция y=f(x) возрастает на R.решите неравенство f(6x2+x+9/x2+3)<f(5)

 ( +2815 ) 
05.11.2012 01:26
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

y=f(x) возрастает на R.   Решить неравенство f((6x2+x+9)/(x2+3)) < f(5).

Если функция возрастает, то для аргументов знак неравенства сохраняется.

(6x2+x+9)/(x2+3)) < 5

(6x2+x+9)/(x2+3))  - 5 < 0                      Приводим кобщему знаменателю.

(6x2+x+9 - 5х2 -15) / (x2+3)) <0

Знаменатель положителен при всех х. Поэтому числитель меньше 0.

х2 + х - 6 < 0    Корни -3 и 2.

(х+3)(х-2) < 0

_____+______-3_____-_______2______+_________

x C (-3; 2)

 
05.11.2012 17:37
Комментировать

спасибо

 
11.11.2012 20:02
Комментировать

Лилиана, добрый вечер! Будьте добры помогите, пожалуйста, в решении следующих примеров:

найти производные функции:

1) y=7x4-9x2-6x+3

2) y=ln (x4-5x)

3) y=ecos6x

4) y=sin 3x2*56x

 ( +2815 ) 
13.11.2012 21:44
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

1) y' =7*4x- 9*2x-6 = 28x3 -18x -6

2) y' = (ln (x4- 5x)' = 1/(x4 - 5x) * (4x3 -5) = (4x3 -5)/(x4 -5x)

3) y' = (ecos6x)' = ecos6x *(-6sin6x) = -6sin6x *ecos6x

4) y' = (sin 3x2)' *56x + sin3x2 *(56x)' =

= cos3x2 * 6x*56x +sin3x2  *56x *6ln5

 
29.11.2012 10:02
Комментировать

Помогите, пожалуйста исследовать функцию и построить график D (y) = (4х - 8х2) / (3х+6)

Решала сама, предодаватель забраковал, написал следующие замечания

1. ОДЗ точки, в которых точно не определена  х = -2

2. Точки пересечения

с осью Y 

y =0, х=0 (0;0)

с осью Х

y =0, х = 0 (0;0)

y=0, х=0,5 (0;0,5) ПОЧЕМУ ?

3. Экстремумы функции

х = -2+ корень 5

х = - корень 5 - 2 ГДЕ ИССЛЕДОВАНИЕ?

4. Интервалы возрастания и убывания

max - у функции нет

min - (-2 + корень 5) / (-корень 5 - 2) ПОЧЕМУ?

возрастание = [-2 + коернь 5; бесконечность)

убывание = ( - бесконечность; - корень 5 - 2)

5. Точки прергибов графика функции

yII = -6 (-16x+4)/(3x+6)2-16 (3x+6)+18 (-8x2+4x)/(3x+6)3=0

limII при х стремиться к +-2

limII при ч стремиться --2

х=-2 (-2; - бесконечность) РАСШИФРУЙТЕ!

6. Интервалы выпуклости, вогнутости

вогнутая [-2;бесконечность)

выгнутая ( - бесконечность; -2] ПОЧЕМУ?

7. Асимптоты

вертикальные х-2

горизонтальные         ЧТО ЭТО НАКЛОННЫЕ?

при х стремиться к + бесконечности и х стремиться к - бесконечности

lim f(x), х стремиться к +бесконечности = бесконечности, следовательно горизонтальной ассимптоты справа не существует  ПОЧЕМУ?

lim f(x), х стремиться к - бесконечности= бесконечности, следоватльно горизинтальной ассимптоты слева не существует ПОЧЕМУ?

наклонные

при х стремится к +бесконечности и х стемиться к - бесконечности

lim f (x) / x 

х стемиться к + бесконечности = -8/3

уравнение наклонной ассимптоты справа y=-8/3х  НЕВЕРНО!

lim f(x) /x  х стемиться к - бесконечности = -8/3

уравнение ассимптоты слева y - 8/3 х НЕВЕРНО!




 ( +2815 ) 
29.11.2012 23:32
Комментировать

2. Точки пересечения с осью ОХ.

у=0, тогда 4х-8х2=0.   4х(1-2х)=0  х=0,   х= 0,5

(0;0), ( 0.5;0)    (Ты х и у местами поменяла)

3. Экстремальные точки  х1=-2-√5,   х2=-2+√5    х=-2 - вертик. асимптота, разрыв ф-ии

у'

______–_____х1____+____ 2 ____+___ х2_____–_______

                     min       /                 /      max              

 
19.12.2012 21:59
Комментировать

Лилиана, помогите пожалуйста решить задачу по математическому анализу. Буду очень Вам благодарна.  "Найти асимтоты графика функции y=(x^2-3x)/(3x^2-2) "

 ( +2815 ) 
20.12.2012 13:01
Комментировать Верное решение
(баллы:+2)

 
27.12.2012 18:41
Комментировать

Помогите пожалуйста полностью исследовать функцию и построить график,lim, Очень нужно.  Буду очень Вам благодарна.

(х-1)/(х+2)

 ( +2815 ) 
28.12.2012 14:43
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

у= (х-1)/(х+2)   Преобразуем:

у= (х+2-3)/(х+2);  у = 1  -3/(х+2)

Графиком является гипербола у=-3/х, сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

У гиперболы нет экстремальных точек. Можно показать, что у'=3/(х+2)2 ≠ 0.

D(x)= (-∞; -2) U (-2; +∞)

E(y) = (-∞; 1) U (1; +∞)

Вертикальная асимптота   х=-2.

Накл. асимптоты: y=kx+b.

k= limx→∞ y/x = limx→∞ (1-1/x)/(x+2) = 1/∞ = 0

b= limx→∞(y-kx) = limx→∞ (y-0) = lim x→∞(x-1)/(x+2) = limx→∞ (1-1/x)/(1+2/x) = (1-0)/(1+0) = 1

y=1 - горизонтальная асимптота.

 
08.01.2013 00:39
Комментировать

liliana, добрый день,

Помогите пожалуйста полностью исследовать функцию и по результатам исследования построить ее график:

y = ((x^2)-3) / ((x^2)+9)

Заранее благодарю Вас.

 ( +2815 ) 
08.01.2013 01:42
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

y = (x2-3)/(x2+9) = (x2+9-12)/(x2+9)

y = 1 -12/(x2+9)

D(y) = R

y - четная  (симметрична относительно оси ОY).

y' =  12*2x/(x2+9)2 = 0   -->  x=0   - экстремальная точка

у(0) = -1/3

при  х<0  y'<0   -->   ф-ция убывает,   при х>0   ф-ция возр.

Нули ф-ции: х=±√3

limx-->∞ (1 -12/(x2+9)) = 1-0 = 1

y=1 - горизонтальная асимптота


 
13.01.2013 14:35
Комментировать

Добрый день! Подскажите пожалуйста, не могу понять как Вы преобразовываете выражение y = (x2-3)/(x2+9) = (x2+9-12)/(x2+9) (это мне понятно, а вот дальше Вы пишете y = 1 -12/(x2+9), из чего следует такое выражение?

 ( +2815 ) 
13.01.2013 16:50
Комментировать

Числитель разбиваем на 2 части: х2+9   и   -12, а затем почленно делим.

Т.е. из одной дроби делаем две:  (х2+9)/(х2+9) -12/(х2+9) = 1 -12/(х2+9)

Хотя это можно было и не делать. Но в таком виде проще брать производную иисследовать функцию.

 
08.01.2013 14:33
Комментировать

Спасибо большое Вам. Очень помогли!

 
26.01.2013 12:12
Комментировать

Здравствуйте!!!Помогите пожалуйста решить контрольную все сделала а это задание не могу вспомнить как решается!!!! Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график у=х3-12

 ( +2815 ) 
26.01.2013 16:44
Комментировать

Здесь у=х3-12, а на странице   http://postupivuz.ru/vopros/10138.htm

у=х3-12х. Где верное условие?

 ( +2815 ) 
26.01.2013 16:45
Комментировать

у=х3 -12

Графиком является кубическая парабола у=х3, опущенная на 12 единиц вниз (вдоль оси ОУ).

D(x)= (-∞; +∞) - область определения.   E(y)= (-∞; +∞) - область значений.

Нули функции: х3 = 12   -->   x= 3√12    - единственная точка.

у'= 3x2 = 0,    x=0 - критическая точка.

у' >0 при всех х, кроме х=0. 

Значит, функция возрастает на всей числовой оси, кроме х=0.

у''= 2x, в точке х=0 вторая производная равна 0, значит, в этой точке перегиб функции.

При х>0  y''>0 ,  функция выпукла вниз.

При х<0 y''<0,  функция выпукла вверх.

 
26.01.2013 17:10
Комментировать

Прошу прощенья!!!! правильно 12х Большое Спасибо ВАМ !!!!!!!!

 
27.01.2013 21:22
Комментировать

Еще в одном заданияя помощь нужна пожалуйста! Найти точки разрыва функции Сделать чертеж.

f(x)= -x,   x<=0,

sinx,             х€ (0; Пи]

x-2,          x>Пи

 ( +2815 ) 
27.01.2013 22:07
Комментировать

Разрыв в точке х=pi,      y(pi)=0.

 
28.01.2013 16:45
Комментировать

все решил. спасибо

 
11.09.2013 12:42
Комментировать

Помогите пожалуйста понять, распишите подробно

известно, что значение производной функции y=f^3(x) в точке x=2 равно 27, а значение производной функции y=1/f(x) в точке x=2 равно -1. Найдите f'(x)

 ( +2815 ) 
11.09.2013 20:13
Комментировать

(f3(x)) ' = 3f2(x) *f'(x);                     3f2(2) *f '(2) = 27   (1)

(1/f(x))' = (f -1(x))' = -1/f2(x) *f'(x);   -1/f2(2) *f '(2) = -1   (2)

Умножим (1) на (2):  

3f2(2) *f '(2) * (-1)/f2(2)  * f '(2) = -27   

-3 (f'(2))2 = -27

(f'(2))2 = 9

f'(2) = ± 3


 
02.03.2014 16:30
Комментировать

Добрый день Лилиана! Помогите пожалуста с решением задачи: если y(x)=sin^5*3x то y’(x) равно

 ( +2815 ) 
19.11.2014 23:20
Комментировать

y(x)= sin53x 

 

у'(x) = 5 sin43x * (sin3x)' = 5sin43x * 3cos3x

 
07.03.2014 00:52
Комментировать

Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0 если y=tg^2 x-ctg^2 x, x0=π/4

 ( +2815 ) 
09.03.2014 17:53
Комментировать

у=tg2x - ctg2x

y'= 2tgx * 1/cos2x - 2ctgx *(-1/sin2x)

y'(п/4)=2*1*1/(1/√22) + 2*1*1/(1/√22) = 4 + 4=8

 
10.05.2014 16:16
Комментировать

Добрый день, Лилиана, очень нужна Ваша помощь в решении одного задания 

Функция y=1/(x-3)^1/3  в какой точке будет разрывной?

Буду очень благодарна за пояснение к задаче.С Уважением, Екатерина.

 ( +2815 ) 
10.05.2014 18:35
Комментировать

Знаменатель дрби не должен обращаться в 0.

при х=3  знаменатель равен 0, значит, функция в этой точке не существует.

х=3 - точка разрыва.

 
11.05.2014 09:48
Комментировать

Спасибо большое за помощь, очень - очень благодарна=)

 
22.10.2014 15:01
Комментировать

Подскажите пожалуйста:
Монотонность и экстремум

Наибольшее и наименьшее

уравнение касательной и нормали

y=x^2*(x-2)^2  

 ( +2815 ) 
22.10.2014 21:30
Комментировать

y' = 2x(x-2)2+ x2*2(x-2) = 0

2x(x-2)*(x-2 +x) = 0 ;  х(х-2)(х-1)=0

x=0  x=2  x=1 - точки экстремума

у'>0   то ф-ция возр, у'<0, то ф-ция убывает.    Расставим знаки производной:

_______-______0_____+_____1_____-_______2_____+______

Промежутки монотонности

у(х)   возрастает при 0<х<1 и х>2

у(х)   убывает при х<0   и 1<х<2

х=0 и х=2 - точки минимума, х=1 - точка максимума.

Наибольшего значения нет, наименьшее у=0 при х=0 и х=2.

 
10.11.2014 17:55
Комментировать

Помогите решить. Известно, что функция y = f(x) убывает на R. Решите неравентво f(3x^2 - 7x +8 / x^2 +1) > f(2).

 ( +2815 ) 
16.11.2014 11:20
Комментировать

f((3x2 - 7x +8) /( x2 +1)) > f(2).

Если f(x) убывает, то  из нер-ва f(x1)>f(x2) следует, что x1<x2

Поэтому  (3x2 - 7x +8) /( x2 +1) < 2.

Решаем это наревенство. Т.к. х2+1>0, то умножим обе части на х2+1

3x2 - 7x +8< 2( x2 +1)

Дальше всё в левую часть и решаем методом интервалов.

 
11.02.2016 17:46
Комментировать

Добрый день, помогите решить функцию. Найдите производную функции, y=(2x-5x^3)^3

 ( +2815 ) 
13.02.2016 22:38
Комментировать

у'=3*(2х-5х3)2*(2х-5х3)' = 3(2х-5х3)2·(2-15х2)

 
16.03.2016 18:14
Комментировать

Добрый вечер! 

Помогите, пожалуйста: Найти наибольшее значение функции y = 6^x - 36^x - 216 на отрезке [0;1].

Спасибо.

 ( +2815 ) 
17.03.2016 23:25
Комментировать

y = 6х - 36х - 216 на отрезке [0;1].

Функцию удобнее представить так: у=6х-6-216

у ’ = 6xln6 -2·62xln6 = 6x·ln6·(1-2*6x) =0 

6x·ln6 > 0;      1-2*6x =0;   6x=1/2;    x=ln6(1/2)=-ln62 <0- точка экстремума, не принадлежит [0;1]

Поэтому вычисляем у(х) на концах промежутка.

у(0)=60-360-216=1-1-216=-216 - наибольшее значение

у(1)=6-36-216=-246 - наименьшее

Хочу написать ответ