Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, и острым углом А=60 градусов. Пусть CDKN – данный прямоугольник, точка D лежит на катете AC, K лежит на гипотенузе AB=8 см, точка N лежит на катете BC. Тогда по условию задачи BC=AB*sin A=8*sin 60=4*корень (3). АС=8*сos 60=8*12=4 Пусть CD=x см, тогда AD=4-x см Тогда DK=AD*tg A=(4-x)*корень (3) Площадь прямоугольника CDKN S(x)=CD*DK=x*(4-x)*корень (3) Ищем производную S’(x)=корень (3)*(4-х-х) =2 *корень (3)*(2-х) Ищем критические точки S’(x)= 2 *корень (3)*(2-х) =0 Х=2 От 0 до 2 производная больше 0, от 2 до 8 меньше 0, значит в точке 2 у функции максимум, то есть площадь прямоугольника S(x) принимает наибольшее значение для х=2 S(2)= 2*(4-2)*корень (3)=4*корень (3). Ответ: 4*корень (3).