Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции без производной

создана: 12.11.2016 в 17:26
................................................

 ( +2712 ) 

:

Пусть f(x) - квадратичная функция вида ах2+bx+c.

Рассмотрим решение задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения функций вида 

у=√f(x),   y = logaf(x),   y = af(x)

 ( +2712 ) 
28.09.2015 15:24
Комментировать

№ 1. Найти множество значений функции: y= 2сos x + 1

Решение:

-1 ≤ cosx ≤ 1       /*2

-2 ≤ 2cosx ≤ 2       / прибавим 1   

-1 ≤ 2cosx +1 ≤ 3

E(y) = [-1; 3] - область значений функции.

 


 

№ 2.  Найдите наименьшее и наибольшее значения функции s=f(t), если   f(t) = 1-(cos2t-sin2t)

Решение. Первый способ.

f(t) = 1-(cos2t-sin2t) = 1- cos2t 

Применили ф-лу косинус двойного угла.

Т.к. -1 ≤ cos2t ≤ 1

-1 ≤ -cos2t ≤ 1        / прибавим 1 ко всем частям неравенства

1-1  ≤ 1 -cos2t ≤ 1+1

0 ≤ 1 -cos2t ≤ 2

0 ≤ f(t) ≤ 2

Область значений функции [0; 2].

Т.о. 0 - наименьшее значение, 2 - наибольшее.

________________________________________________________________________________

Решение. Второй способ.

f(t) = 1-(cos2t-sin2t) = 1-cos2t +sin2t = 2sin2t

0 ≤ sin2t ≤ 1        / умножим на 2

0 ≤ 2sin2t ≤ 2

0 ≤ f(t) ≤ 2

0 - наименьшее значение, 2 - наибольшее значение.

 ( +2712 ) 
28.09.2015 15:25
Комментировать

№ 3. Найти наибольшее значение функции у=21-4х-х^2 - 21   без производной

 Решение.

у=2 1- 4х - х^2 - 21  

Рассмотрим функцию  g(t) = 2 t, где t = 1- 4x - x2

Функция g(t) = 2t возрастает на всей области определения.

Определим, какие значения принимает t.

t(x) - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Наибольшего значения эта функция достигает в точке максимума..

Координаты вершины:  х0 = -b/(2a) = 4/(-2) = -2;  t0 = 1 + 8 - 4 = 5.

Т.о.  наибольшее значение t равно 5, 

а наибольшее значение g = g(5) = 25 = 32.

Наибольшее значение у = g(5) - 21 = 32 - 21 = 11.

Ответ: 11.

 ( +2712 ) 
08.10.2015 20:08
Комментировать

№ 4. Найдите наименьшее значение функции y=(1/3)-1-x^2   без производной.

Решение. Первый способ.

y=(1/3)-1-x^2 .

у= 31+x^2  - функция четная, т.к. у(х) = у(-х).

Построим график для х≥0, затем симметрично отразим относительно оси 0Y

В симметричных точках (1 и -1, 2 и -2, ...)   значения функции совпадают. 

х -2     -1     0     1      2   ...
у 27     9      3     9    27   ...

Наименьшее значение у=3 при х=0

_________________________________________________________________________________

Решение. Второй способ.

y(х) = (1/3)-1-x^2.     Положим -1-х2 = t,  тогда

у(t) = (1/3)t  - функция убывающая, поэтому наименьшее значение достигается, когда t принимает наибольшее значение.

t(x) = -1 - x2 . Известно, что графиком этой квадратичной функции является парабола, расположенная ветвями вниз, а наибольшее значение достигается в вершине, т.е. при х=0.

t(0)= -1 -02 = -1.  Тогда наибольшее значение фнкции у(t)  будет при t=-1

y(t)наибольшее = у(-1) = (1/3)-1 = 3

 ( +2712 ) 
08.10.2015 20:30
Комментировать

№ 5.  Найти наибольшее и наименьшее значение фунции без производной.

у(х) = √(x2-6x+13)

Решение.

g(x)= x2-6x+13      a=1, b=-6, c=13

Графиком функции g(x) является парабола, ветви вверх, следовательно функция g(x) имеет точку минимума хmin = -b/(2a) = -(-6)/2 =3

Подкоренное выражение имеет наименьшее значение gmin= g(3) = 9-18+13 = 4

А наименьшее значение у(х) = √g(x) = √4 = 2

Ответ: 2.

 ( +2712 ) 
01.02.2016 20:48
Комментировать

Найти наименьшее и наибольшее значение функции( без использования производной):

у=2|x| - 1 на отрезке [-3;2]

Решение.

Т.к. |x|≥0, то наименьшее значение функции будет в случае |x|=0, т.е. при х=0.

у(0)=2*|0|-1 = -1 - наименьшее значение.

Наибольшее значение на одном из концов отрезка [-3;2].

y(-3)=2*|-3| -1= 6-1=5  - наибольшее

у(2)=2*2-1=3

Хочу написать ответ