Вопросы»Базовый уровень по математике с решениями. Задание 19. ЕГЭ |Поступи в ВУЗ

В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему "Делимость натуральных чисел". Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.

Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

2. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

3. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

4. Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

5. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

6. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

7. Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

8. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

9. Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

10. Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.

11. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)

Задание 19 (1). Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?

Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.

9²+9²+2² не делится на 3

При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3.

При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9.

Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

liliana

( +3192 ) 04.10.2015 22:26	Комментировать
№ 19 (2). Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. Решение. 600 делится на 3, 4 и 5. Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают. НОК=345=60 - делится на 3, 4 и 5. Проверяем число 600+60 =660. Оно делится на 3, 4 и 5, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают. Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 3, 4 и 5. Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают. Ответ: 721.

liliana

( +3192 ) 04.10.2015 22:53	Комментировать
№ 19 (3). Приведите пример пятизначного числа,кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число. Решение. Разложим 40 на 5 множителей: *40=52221.* Пусть число состоит из этих цифр. Например, 51222. Т.к. число должно быть кратно 12, то оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр равна 12, значит, оно делится на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры составили число, которое делится на 4. 22 неделится на 4, а 12 делится. Значит в конце стоят цифры 1, 2. Варианты ответа: 52212, 25212, 22512.

liliana

( +3192 ) 06.10.2015 10:55	Комментировать
№ 19 (4). Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Решение. 5 3 1 6 4 0 1 8 - цифры числа. Чтобы число делилось на 15, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Чтобы число делилось на 5, надо, чтобы оно оканчивалось на 0 или на 5. Вычеркнем 2 последние цифры, получится число 531640. Из этого числа надо вычеркнуть одну цифру так, чтобы оставшееся число делилось на 3. Признак делимости на 3: если суммв цифр делится на 3, то и число делится на 3. 5+3+1+6+4+0 = 19, значит надо вычеркнуть цифру 1 (сумма цифр будет 18), или 4 (сумма цифр будет 15). В ответ можно написать любое из чисел: 53640 или 53160.

liliana

( +3192 ) 09.04.2016 19:47	Комментировать
№ 19(5) Приведите пример трехзначного натурального числа большего 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число. Запишем сначала число, большее 400, которое делится на 5 и на 6, т.е. делится на 30. Например, 420 или 450. Если к этому числу прибавить число, меньше 5 и 6, например, 1 (или 2 или 3 или 4), то при делении на 5 и 6 остаток будет 1 (или 2 или 3 или 4). Последнюю цифру подбираем так, чтобы в сумме со второй цифрой получилась удвоенная первая цифра (42=8). Для числа 420 надо взять цифру 6, получим число 426, 4=(2+6)/2, но 6 не является остатком. Возьмем число 450, оно делится на 6 и на 5. Прибавим к нему 3. 453 при делении на 5 и 6 дает в остатке 3. При этом 4=(5+3)/2 Ответ: 453.* № 19(6). Найдите трехзначное число большее 500 которое при делении на 4 на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число которое делится на 4, 5 и 6 равно 60. Число больше 500 и кратное 60 это 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Чтобы при делении на 60 в остатке получить 2, надо к любому из этих чисел прибавить 2. При этом, должны быть только 2 различные цифры. Это может быть 662 или 722. Ответ: 662 (722) № 19(7). Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 дает в остатке 2, в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите ровно одно такое число. Числа, которые делятся на 3, 5 и 7 делятся на 357=105. Это числа, кратные 105: 105, 210, 315, 420, ... Прибавим 2, получим 107, 212, 317, 422, ... Подходят те, у которых 2 цифры одинаковые. Это 212 и 422. Ответ: 212 (или 422)

liliana

( +3192 ) 09.04.2016 20:29	Комментировать
№ 19(8). Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 дает равные ненулевые остатки, и у которого цифры идут в убывающем порядке слева направо. Число делится на 6 и 11, значит оно делится на 611=66. Трехзначные числа, которые делятся на 66: 132 (662), 198 (663), 264(664), 330(665), 396(666), 462(667), 528(668) Нужно выбрать такое число, чтобы цифры убывали, если к числу прибавить остаток (число меньшее 6). Возьмем 528 и прибавим остаток 2 (или 3 или 4). Получим 530 (или 531 или 532). Ответ: 530 (531 или 532) № 19 (9). Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только 2 различные цифры. В ответе укажите ровно одно такое число. Найдем числа которые делятся на 3, 5 и 7 без остатка. Это 357=105 или 1052=210 или 1053=315 или 1054=420 и т.д. Прибавим к этим числам остаток 2. Получим 107, 212, 317, 422... Все эти числа при делении на 3, 5 и 7 дают остаток 2. Но по условию 2 цифры числа должны быть одинаковые. Значит это число 212 (или 422). Ответ: 212 (или 422).*

liliana

( +3192 ) 03.02.2017 23:41	Комментировать
Дано двузначное натуральное число, сумма квадратов цифр которого равна 45. Если к этому числу прибавить 27, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число. Решение. http://postupivuz.ru/vopros/11620.htm Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивается цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите эти числа. Решение. http://postupivuz.ru/vopros/12198.htm Найдите четырехзначное число, меньшее 2800, кратное 7 и представляющее собой сумму куба и квадрата одного и того же целого числа. Решение. http://postupivuz.ru/vopros/12198.htm

Хочу написать ответ