Чётное число можно представить в виде m = 2k

Нечётное число можно представить в виде: m  = 2k + 1

а) Пусть a = 2k - чётное, тогда a² = (2k)² = 4k² = 2·2k². Заменяя k' = 2k² получаем, что a² = 2k', т.е. m² - чётное.

б) Доказательство методом от противного, предположим, что a = 2k + 1 - нечётное, тогда a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2·(2k² + 2k) + 1. Заменяя k' = 2k² + 2k получаем, что a² = 2k' + 1, т.е. a² - нечётное. Но это противоречит условию задачи. Значит a = 2k - чётное.

в) См. пункт б). Пусть a = 2k + 1 - нечётное, тогда a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2·(2k² + 2k) + 1. Заменяя k' = 2k² + 2k получаем, что a² = 2k' + 1, т.е. a² - нечётное.

г) Аналогично пункту б), докажем методом от противного, предположим, что a = 2k  - чётное, тогда a² = (2k)² = 4k² = 2·(2k²). Заменяя k' = 2k² получаем, что a² = 2k', т.е. a² - чётное. Но это противоречит условию задачи. Значит a = 2k + 1 - нечётное.