Наверное, имеется ввиду: y = x³ /(x²+1)

1. Область определения: x² + 1 ≠ 0 - верно всегда. D_y = R. Функция является элементарной и непрерывна в области определения, т.е непрерывна на R.
2. Чётность/нечётность: y(-x) = (-x)³ /((-x)²+1) = - x³ /(x²+1) = -y(x)/ Функция y(x) - нечётная, симметрична относительно начала координат.
3. Нули функции: y(x) = 0; x³ /(x²+1) = 0; x = 0
4. Точки пересечения с осью OY: x=0: y = 0³ /(0²+1); y=0
5. Промежутки знакопостоянства функции:
   y(x) >0:             x³ /(x²+1) >0           | ·(x²+1) >0
                            x³ >0                 x>0
   
   y(x) <0:             x³ /(x²+1) <0           | ·(x²+1) >0
                            x³ <0                 x<0
6. Критические точки, экстремумы, промежутки монотонности:
   y'(x) = [x³ /(x²+1) ]' = [3x²·(x²+1) – 2x·x³] / (x²+1)² =
   = [3x⁴ + 3x² – 2x⁴] / (x²+1)² = [x⁴ + 3x²] / (x²+1)² = x²·(x²+3) / (x²+1)²
   
   y'(x) = 0:   x²·(x²+3) / (x²+1)² = 0; x = 0
   Все множители входящие в производную при x≠0 положительны:
   (x²+1)² >0,  x²+3>0,   x² >0.
   Значит при x≠0: y'(x) > 0 - функция возрастает.
   
   Т.к. при перходе через стационарную точку x=0 производная не меняет знак, то точка x=0 не является точкой экстремума. Экстремумов нет.
7. Выпуклость и точки перегиба:
   y'' (x) = [x²·(x²+3) / (x²+1)² ]' = [(x⁴+3x²) / (x²+1)² ]'=
   = [(4x³+6x)(x²+1)² - x²·(x²+3)·2(x²+1)·2x ]/ (x²+1)⁴ =
   = [(4x³+6x)(x²+1) - x²·(x²+3)·2·2x ]/ (x²+1)³ =
   = 2x· [(2x²+3)(x²+1) - 2x²·(x²+3)]/ (x²+1)³ =
   = 2x· [2x⁴+5x²+3 - 2x⁴-6x²]/ (x²+1)³ =
   = 2x [3 - x²] / (x²+1)³ = -2x(x-√3)(x+√3) / (x²+1)³
   Имеем точки перегиба: x=0; x=±√3
   
   ___+___[-√3]_____−___[0]____+_____[√3]_______−_______-> y''(x)
   
   Промежутки: x € (-∞; -√3] и x € [0; √3] - выпуклость вниз
   Промежутки: x € [-√3; 0] и x € [√3; +∞) - выпуклость вверх
   
8. Поведение на бесконечности:
   y = x³ /(x²+1) = (x³ + x - x)/(x²+1) = (x³ + x)/(x²+1) - x /(x²+1) = x - x /(x²+1).
   При x→±∞ член lim _x→∞ [x /(x²+1)] = lim _x→∞ [1 /(x+1/x)] = lim _x→∞ [1 / x] = 0.
   Тогда при x→±∞ функция приближается к графику y = x - наклонная асимптота.