Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Геометрия 7-9 кл +ГИА » площадь прямоугольника

площадь прямоугольника

создана: 27.12.2015 в 18:13
................................................

 

:

В квадрат площадью 24 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найдите площадь прямоугольника.

 ( +862 ) 
28.12.2015 10:01
Комментировать

Пусть сторона квадрата a, тогда S = a2 = 24; 

Рассмотрим образовавшиеся подобные треугольники AFH, BGH, FDE, CGE.

Пусть тогда:

DF = FE sinα = x sinα

AF = FH cosα = 3x cosα

AH = FH sinα = 3x sinα

BH = HG cosα = x cosα

Но AD = AB (квадрат)

AF + FD = AH + BH

3x cosα + x sinα = 3x sinα + x cosα

3x cosα – x cosα = 3x sinα – x sinα

2x cosα = 2x sinα

tg α = 1

α = 45°

Значит β = 90° – α = 90° – 45° = 45°

Треугольники - р/б

Пусть AH = y, тогда BH = DF = a – y.

AF = AD - FD = a - (a - y) = y

AH / FD = y / (a-y) = 1/3

3y = a-y

4y = a

y = a/4

По теореме Пифагора: AH2 + AF2 = FH2

y2 + y2 = (3x)2

2y2 = 9x2

2(a/4)2 = 9x2

a2/8 = 9x2

x2 = a2 / 72

Sпрямоуг = 3x · x = 3x2 = 3a2 / 72 = a2 / 24 = 24/24 = 1

Ответ: 1

 ( +34 ) 
28.12.2015 21:55
Комментировать

Непонятно, почему BH=DF ?   в 6-й строке

 ( +862 ) 
29.12.2015 08:47
Комментировать

Треугольники BHG и DFE равны по стороне и прилежащим к ней двум углам (FE=HG=x - противоположные стороны прямоугольника, GHB = DEF = α, HGB = DFE = β).

Из равенства треуггольников следует равенство BH=DF

 ( +34 ) 
02.01.2016 20:41
Комментировать

Но ВН лежит против угла ветта, а DF против угла альфа. Или я что-то не понимаю.

Я смотрю по Вашему чертежу. Вроде бы очевидно, что альфа и бетта равны?

 ( +862 ) 
05.01.2016 13:38
Комментировать

Вы правы - моя ошибка (решил на бумаге - увидел, а когдна на компьютере решаешь, иногда упускаешь важные моменты из виду). К сожалению, мне не очевидно, что углы α и β равны.

Пусть тогда:

DF = FE sinα = x sinα

AF = FH cosα = 3x cosα

AH = FH sinα = 3x sinα

BH = HG cosα = x cosα

Но AD = AB (квадрат)

AF + FD = AH + BH

3x cosα + x sinα = 3x sinα + x cosα

3x cosα – x cosα = 3x sinα – x sinα

2x cosα = 2x sinα

tg α = 1

α = 45°

Значит β = 90° – α = 90° – 45° = 45°

 

Возможно, можно проще показать, что углы равны или что треугольники р/б

 ( +34 ) 
09.01.2016 19:36
Комментировать

Спасибо, Wink

 
28.12.2015 18:09
Комментировать

спасибо большое за помощь?

Хочу написать ответ