Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Т.к. сумма углов A+D = 85°+5° = 90°, то продлим боковые стороны трапеции AB и CD до пересечения в точке O. Тогда Угол O = 180 - (85+5) = 90°, треугольники BOC, MON, AOB - прямоугольные.
FE - соединяет середины сторон BC и AD, значит OE - медиана (аналогично OF, OQ - также медианы) к гипотенузе. MN - средняя линия, т.к. соединяет середины боковых сторон. По условию MN = x, FE = y, где x = 11, y = 1 или наоборот, x = 1, y = 11
Пусть основания AD = a, BC = b. По свойству медианы, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе (медиана равна половине гипотенузы): OF = BC/2 = b/2; OE = AD/2 = a/2
FE = OE-OF = a/2-b/2 = (a-b)/2 = y
MN = (AD+BC)/2 = (a+b)/2 = x (по свойству средней линии)
Имеем систему: (a-b)/2 = y и (a+b)/2 = x a-b = 2y и a+b = 2x Сложим и вычтем уравнения системы друг из друга, получим: 2a = 2x+2y, т.е. a = x+y 2b = 2x-2y, т.е. b = x-y
Т.к. b = x-y > 0, то x>y. Значит x=11, y=1. Комбинация x=1, y=11 не подойдёт. a = 11+1 = 12 b = 11-1 = 10
