Вопросы»Задачи 17 на оптимальный выбор. Профильный ЕГЭ 2016-2020.|Поступи в ВУЗ

При решении заданий 17 необходимо составить целевую функцию, описывающую некоторый процесс - функцию оплаты труда, выпуска продукции, распределения ресурсов и пр. При этом необходимо указать ограничения на область определения этой функции. Для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции применяем метод исследования функции с помощью производной.

Рассмотрим конкретные задачи №17 из заданий профильного ЕГЭ 2016.

**********************************************************************************************

Задание №1. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся
абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более
совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов
в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара;
если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t²часов
в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.
Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара.

Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

____________________________________________________________________________

Решение.

Пусть на первом заводе рабочие трудятся х²часов в неделю, тогда они производят за неделю 2х единиц товара.
На втором заводе рабочие трудятся у² часов в неделю и за неделю производят 5у единиц товара.
Тогда суммарно за неделю будет произведено 2х+5у единиц товара, а затраты на оплату труда составят
500(х²+у²) рублей при условии, что 2х+5у=580.

Выразим у через х: у=(580-2х)/5, причем хС[0; 290].

Составим функцию оплаты труда: F(x) = 500(x²+(580-2x)²/25) =

=500x² +20(580-2x)² = 20(25x²+580² -2320x +4x²).

Найдем наименьшее значение F(x) = 20(29x²-2320x+336400) на промежутке [0; 290].

F(x) - квадратичная функция, наименьшее значение достигается в в вершине параболы (точке экстремума).

F`(x)=20(2*29x-2320) =0

58x=2320; x=40 - точка минимума, принадлежащая [0; 290].

F(40) = 500(40²+ (580-80)²/25)=5800000.

Ответ: 5 800 000.

liliana

( +3192 ) 22.04.2016 00:11	Комментировать
Задание № 2. (ЕГЭ-2016 под редакцией И.В.Ященко 10 вариантов (профильный уровень). На каждом из двух комбинатов работает по 20 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 2 детали А или две детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t²человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену? Решение. Пусть на первом комбинате х рабочих изготавливают за смену по 2 детали А, тогда 20-х рабочих изготавливают по две детали В. Всего за смену на первом комбинате деталей А: 2х, деталей В: 2(20-х). Пусть на втором комбинате у² рабочих изготавливают за смену по у деталей А, тогда 20-у² рабочих изготавливают по √(20-у²) деталей В. В. Всего за смену на втором комбинате деталей А: у, деталей В: √(20-у²). На двух комбинатах за смену деталей А: 2х + у, деталей В: 2(20-х) + √(20-у²) По условию количество деталей А и В равное. 2х+у = 40- 2х+ √(20-у²) х=10 + (√(20-у²) -у)/4 Количество изделий равно количеству деталей А (или количеству деталей В). F(x,y) = 2x+y - функция количества изделий. Перейдем к переменной у. F(у)= 20 + √(20-у²)/2 -у/2 +у = 20 + √(20-у²) /2 +у/2 при условии 0≤ у²≤ 20 С помощью производной найдем наибольшее значение функции на отрезке [0; √20]. F(y) = -y / (2√(20-у²)) + 1/2 = 0 (для F(y) y²≠20) y = √(20-у²) , 2y²=20, y=√10 - точка экстремума. Вычислим значения функции на концах промежутка и в точке экстремума. Но т.к. у - количество изделий должно быть целым положительным числом, то вычислим F(y) в соседних целых точках. 3<√10<4 F(0)=20+ √20 /2 ≈22 F(√20)=20+ √20 /2 ≈22 F(3) = 20+√11 /2 +√10/2 ≈ 23,2 ≈23 F(4) ≈ 23 F(√10) = 20+√10/2 +√10/2 ≈ 23 Ответ: 23 изделия. Примечание. Получилось, что на втором комбинате надо поставить 10 человек на изготовление деталей А и 10 - на изготовление деталей В. И так же на комбинате А.

liliana

( +3192 ) 22.04.2016 00:15	Комментировать
Задание № 3. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t³ часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t³ часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих? Решение. На 1-м заводе рабочие трудятся суммарно 4x³ часов в неделю и производят x приборов. На втором заводе рабочие трудятся суммарно y³ часов в неделю, они производят y приборов. Так как необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов, то x+y=20. у=20-х. Леониду придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих (4x³+y³) тыс. рублей. Рассмотрим функцию оплаты суммы денег в тыс. рублей S (x)=4x³+(20-x)³. Найдем наименьшее ее значение. S´(x) = 12х² -3(20-х)²=0, х С [0;20]. 4х² = (20-х)²;2х=20-х ; 3х=20; х0=20/3≈6,66.., но х -натуральное число (количество приборов), точка экстремума х0 лежит между натуральными числами 6 и 7. S´(x) 0______-____х0______+______ S(x) убывает возр х0=6,6 - точка минимума S(7)= 47³ + 13³ = 1372+2197=3569 тыс.руб* S(6)=46³ +(20-6)³ = 864+2744= 3608 тыс. руб.* Ответ: 3569000 рублей.

Хочу написать ответ