Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Параметры, модули » Система уравнений с параметром

Система уравнений с параметром

создана: 21.09.2016 в 22:30
................................................

 ( +16 ) 

:

Найти все значения параметра "a", при каждом из которых система уравнений имеет ровно 2 различных решения:

{ (xy2-3xy-3y+9)/√(x+3)

{y=ax

Решала так: числитель дроби разложила как

xy(y-3)-3(y-3)= (xy-3)(y-3)

Далее:

{x > -3

{(xy-3)(y-3)=0

{y=ax

 

{x>-3

{y=3/x  или  y=3

{y=ax

Далее построила графики функций: x=-3(пунктиром), y=3/x, y=3.

Гипербола пересеклась с графиком функции Y=3 в точке с координатами (1;3).

Далее: подставляем в формулу y=ax координаты этой точки пересечения: 3=1a=> a=3.

А дальше тупик. Не пойму никак, еще надо значения "a" искать?

И где на графике эти два различных решения? Помогите, пожалуйста!

 ( +3192 ) 
03.07.2016 19:26
Комментировать Верное решение
(баллы:+4)

Во второй вашей системе или означает, что получена совокупность двух систем:

{x > -3

{у=3/x              (1)

{y=ax

       или 

{x > -3

{у=3                 (2)

{y=ax     - график - прямая, проходящая через начало координат.

Система (2) имеет 1 решение или ни одного. Считаем количество точек пересечения прямой у=3 и у=ах при х>-3.

В системе (1)  определяем, что при  0<а< 1/3 только одна ветвь гиперболы у=3/х пересекается с прямой у=ах в области х>-3. В системе (2) при этих а имеем также 1 точку пересечения прямой у=ах с прямой у=3.

 

При а=1/3 прямая у=х/3 пересекает 2 ветви гиперболы в точках х=3 и х=-3, но х=-3 не удовл. усл. x>-3, поэтому в этом случае имеем одно решение системы (1)  х=3.

А если взять а< 1/3, например, 1/10, то график у=х/10 пересечет нижнюю ветвь гиперболы при х<-3. Т.е. в при а< 1/3 имеем 1 решение. 

Система (2) в этих случаях тоже даёт 1 решение.

Строим прямые у=ах при х> 1/3. Все они будут пересекать ветви гиперболы в двух точках, причем при х>-3.  В этом случае 2 решения системы (1) и одно решение системы (2). Получаем 3 разлиных решения исходной системы.

При а=3 имеем 2 точки пересечения: у=3х пересекает гиперболу и прямую у=3 в одной точке (1;3). Это одно решение. Эта же прямая у=3х пересекает нижнюю ветвь гиперболы в точке (-1;-3). Еще одно решение. При а=3 исходная система имеет два решения.

Ответ: 0<а< 1/3;  a=3.

 ( +16 ) 
03.07.2016 20:44
Комментировать

liliana, немного непонятно, почему система(2) имеет 1 решение или ни одного. На мой взгляд, прямая у=3 и у=ах пересекаются во многих точках. Или как в этом случае должен работать закон x>-3? Т.е. прямая у=ах должна не выходить за пределы х=-3? Или что-то другое?

 ( +3192 ) 
04.07.2016 21:07
Комментировать

у=3  - прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3).

у=ах - прямая, проходящая через точку (0;0), а-угловой коэффициент.

Эти две прямые имеют только одну точку пересечения (х0;у0) при каждом конкретном а.

Причем, если х0 ≤ -3, то система (2) решений не имеет. Если х0 > -3, то имеем одну точку пересечения.

 ( +16 ) 
05.07.2016 11:37
Комментировать

Наконец, до меня дошли простые и очевидные вещи))) Бывает же такое))) Видимо, перезанималась)))

liliana, большое-пребольшое Вам спасибо!!!

Хочу написать ответ