Условие надо записывать так: доказать, что

(а+2) / (а+3) < (а+4) / (а+5)                 при а > 0.

Перенесем правую часть влево и приведем к общему знаменателю.

(а+2) / (а+3) - (а+4) / (а+5) < 0.

Докажем, что 

(а+2)(а+5)-(а+4)(а+3)        а² +2а +5а +10 -а² -4а -3а -12            

___________________   =   ___________________________  =

     (а+3)*(а+5)                                   (а+3)*(а+5)                

= -12 / [(a+3)*(a+5)]   < 0

Видим, что полученная дробь отрицательна, т.к. в знаменателе произведение положительных чисел, а в числителе знак минус.