Очевидно, что 15. Либо в задаче есть ещё какие-то дополнительные условия или уточнения.

дана строка состоящая из целых чисел от 1 до 15.Любые два различных числа от 1 до 15 встречаются рядом в этой строке.Какое наименьшее количество чисел может быть в этой строке?

Я думаю, что 15 чисел будет не хватать.

Так как в ряде из 15 чисел "4-ка" например будет всего одна, а значит будет иметь только двух "соседей".

А в задаче говорится, что "Любые два различных числа от 1 до 15 встречаются рядом в этой строке", т.е. "4-ка" должна будет встретиться еще несколько раз в паре с другими числами.

Рассмотрим более простую задачу: расставить таким образом 4 или 5 чисел: 1, 2, 3, 4, 5.

Нарисуем граф, где точки - это числа, а рёбра - их соседство.

Каждое ребро символизирует пару соседствующих вершин.

Так как требуется, чтобы соседство соблюдалось для любых вершин, необходимо соединить все точки попарно друг с другом (полный граф).

Попробуем пройтись от одной какой-либо вершины через все ребра, записывая в строку пройденные вершины - таким образом мы сможем сформировать строку, в которой два любых числа (вершины) соседствуют друг с другом.

Для чисел от 1 до 4  нам придется пройтись по одному ребру дважды. Это происходит из-за того, что из вершины "3" выходит три ребра. Мы в неё один раз пришли по 1-му ребру, вышли по 2-ому, снова пришли по 3-му. А для выхода у нас не хватает уже ребра. Поэтому придется пройтись по уже пройденному ребру дважды.

12341324.

Видно что в строке "3" в первый раз соседсвует с 2 и 4, во второй раз с 1 и 2. С двойкой соседствуем два раза, но более удачно здесь не получится.

Если же рассмотреть пять чисел, то ситуация лучше. Здесь в каждой вершине сходится четное число ребер, т.е. для каждого входа будет выход. Половина ребер будет служить для входа в вершину, а половина для выхода из неё.

12345142531

В этой строке два любых различных числа соседствуют, причем без дубирований. Через каждое ребро мы прошли по одноиу разу.

Видно, что длина строки у нас получилась на единицу больше числа ребер. Число ребер в графе: 10. Количество чисел в строке 11.

Аналогично рассуждая можно нарисовать граф с 15 числами-вершинами. В каждой вершшине будет сходиться 14 ребер - четное число: 7 - для "входа" и 7 для "выхода".

Значиьт возможно сформировать строку наиболее оптимальным образом:

Всего ребер будет 15*14/2 = 105.

Значит искомое количество чисел строки: 106

P.S.

• Путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу - Эйлеров путь.
• Граф, содержащий эйлеров путь - полуэйлеров граф.