Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Банковские задачи и задачи на оптимальный выбор 17 » Задача 17. По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой – 60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии 100 км от перекрестка.

Задача 17. По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой – 60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии 100 км от перекрестка.

создана: 17.11.2016 в 21:47
................................................

 ( +18 ) 

:

По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой – 60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии 100 км от перекрестка. Определите время после начала движения, через которое расстояние между автомобилями будет наименьшим. Каково это расстояние?

 ( +747 ) 
25.10.2016 14:21
Комментировать Верное решение
(баллы:+3)

Пусть одно тело движется вдоль оси OX от точки с координатой (100; 0) к началу координат со скоростью 60 км/ч. Тогда его уравнение движения: x = 100 – 60t.

Пусть второе тело движется вдоль оси OY от точки с координатой (0; 100) к началу координат со скоростью 80 км/ч. Тогда его уравнение движения: y = 100 – 80t.

Расстояние между точками на оси A (x; 0) и B (0; y) равно: ρ2 = x2 + y2.

Будем рассматривать квадрат расстояния в силу положительности самого расстояния.

В тот момент, когда квадрат положительной величины будет минимален (или максимален) соответственно и сама величина будет минимальна (или максимальна).

ρ2 = (100 – 60t)2 + (100 – 80t)2 = 202·(5 – 3t)2 + 202·(5 – 4t)2 = 202·[ (5 – 3t)2 + (5 – 4t)2 ] =

    = 202·[ 25 – 30t + 9t2 +25 – 40t + 16t2 ] = 400·[ 25t2 – 70t + 50] = 400·5·[ 5t2 – 14t + 10] =

    = 2000·(5t2 – 14t + 10)

В скобках находится квадратный трехчлен, графиком которого является парабола, ветви направлены вверх, т.к. a = 5 >0. Тогда данный квадратный трехчлен принимает наименьшее значение в вершине t0 = –b/(2a) = 14/(2·5) = 1,4

Получаем, что через 1,4 часа = 1 час 24 минуты расстояние между автомобилями будет наименьшим.

ρ = √(2000·(5t02 – 14t0 + 10)) = √(2000·(5·1,42 – 14·1,4 + 10)) = √(2000·(5·1,96 – 19,6 + 10)) =

   = √(2000·( 0,2 )) = √400 = 20

Ответ: через 1,4 часа = 1 час 24 минуты расстояние между автомобилями будет наименьшим и равно 20 км

 ( +18 ) 
25.10.2016 21:19
Комментировать

Спасибо за решение. 

Хочу написать ответ