Помня, что C_n^m = n! / (m! (n-m)!) и используя тот факт, что:

• (n+1)! = n! (n+1)
• (n-1)! = n! / n

распишем, как связаны: C_n^m и C_n^m+1:

C_n^m+1 = n! / [(m+1)! (n – (m+1))!] = n! / [(m+1)·m! (n – m – 1)!] =
= n! / [(m+1)·m!  · (n–m)!/(n–m) ] = (n–m)/(m+1) · n! / (m! (n-m)!) = (n–m)/(m+1) · C_n^m

Тогда  C_n+1^m+1 = (n+1–m)/(m+1) · C_n+1^m, т.е. C_n+1^m+1 : C_n+1^m = (n+1–m)/(m+1) = 5:5

Также C_n+1^m = (n+1–m+1)/m · C_n+1^m-1 = (n–m+2)/m · C_n+1^m-1 , т.е. C_n+1^m : C_n+1^m-1 = (n–m+2)/m = 5:3

Получаем систему:

(n+1–m)/(m+1) = 5:5

(n–m+2)/m = 5:3

Решаем её. Рассмотрим первое уравнение:

(n+1–m)/(m+1) = 5:5

(n+1–m) = (m+1)

n-m = m

n = 2m

Подставим во второе уравнение:

(n–m+2)/m = 5:3

(2m–m+2)/m = 5:3

(m+2)/m = 5/3

3(m+2) = 5m

3m + 6 = 5m

2m = 6

 m = 3

n = 2m = 6

Ответ: n = 6; m = 3