Дано: d=12, an=15,  Sn = -456.  Найти n.

Решение.

an=a1 +d(n-1);    - формула общего члена

-15 = a1+12(n-1);

a1=-15-12n+12;   a1=-12n-3.

Sn=(a1+an)*n / 2         - формула суммы n членов 

-456 = (-12n-3 -15)*n / 2

-912 = (-12n -18)*n

-912 = -12n² - 18n      {делим на   -6}

152 = 2n² + 3n

2n² + 3n -152 = 0     D = 9+1216 = 1225 = 35²

n = (-3+35)/4 = 8

Ответ: n=8