На окружности отметили 5 точек. Наугад взяты 2 пары точек (у пар нет общих точек), которые соединены хордами. Найти вероятность того, что хорды не пересекаются.
liliana :
На окружности отметили 5 точек. Наугад взяты 2 пары точек (у пар нет общих точек),
которые соединены хордами. Найти вероятность того, что хорды не пересекаются.
Решение.
Пронумеруем точки. В качестве точки №1 можно взять любую точку из пяти.
Случай 1. Первую пару точек можно выбрать так, что они будут соседними,
это точки 1 и 2 (соединены синей хордой, или точки 1 и 5). Так как по условию
у пар нет общих точек, то выбрать вторую пару точек можно тремя способами:
3-4, 3-5,4-5. Вероятность того, что первая и вторая хорды не пересекаются равна р1=1.
Случай 2. выберем первую пару точек так, чтобы они не были соседними.
Например, 1 и 3. Вторую пару можно выбрать тремя способами,
из которых только 1 благоприятный (4-5).
Вероятность, что выбранная хорда не пересекается с первой равна р2=1/3.
Случай 1 и Случай 2 наступают с равной вероятностью, равной 0,5,
т.к. для точки 1 из 4-х точек можно выбрать или 2 соседние (2; 5)
или 2 не соседние (3; 4). р=2/4=0,5.
Следовательно, вероятность того, что хорды не пересекаются
равна 0,5*р1 + 0,5*р2= 0,5*1 + 0,5*1/3 = 0,5*(1 +1/3) = 2/3.
