Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Тесты ЕГЭ, ГИА , IQ » Задача 19 профиль . Найти количество натуральных делителей числа N= 5^7·7^5.

Задача 19 профиль . Найти количество натуральных делителей числа N= 5^7·7^5.

создана: 09.01.2019 в 10:46
................................................

 ( +2935 ) 

:

19. а) Найти количество натуральных делителей числа  N= 57·75.

б) Доказать, что число   M = 57·75 +1   является составным.

в) Натуральное число X имеет в качестве простых делителей 5, 7. 
Найти все такие x,  у  которых  удесятеренное  число  натуральных  делителей 
равно  сумме  количеств  натуральных делителей чисел  x2  и  x3.

Решение.

а) I способ.  Делителями N могут быть числа вида 5х*7у, где х и у принимают
различные целые значения: 0 ≤х ≤ 7,   0 ≤ у ≤ 5. 

Делитель может представлять степень 5, таких делителей 7:  5, 25,125 ... 57.

Делитель может представлять степень 7:    7, 49, ... 75. таких делителей 5.

Делитель может состоять из произведения некоторого количества пятерок и семерок.
Количество таких делителей  7*5 = 35.

Следует учесть натуральный делитель 1 (при х=0, у=0).

Общее количество делителей равно 7+5+35+1= 48.

II способ решения а).

Число ах*bу*cz...  имеет (х+1)*(у+1)(z+1)*...  натуральных делителей.

В нашем случае число 57*75 имеет  (7+1)*(5+1)= 8*6=48 натуральных делителей.

____________________________________________________________________

б) Докажем, что число М=57*75+1 является составным.

Покажем, что М делится на 2.  57 - нечетное число, 75 - нечетное число.

Произведение 57*75 - нечетное, как произведение двух нечетных чисел.

Если к нечетному числу прибавить 1, то получим четное число.

Значит, М - четное.

 ( +2935 ) 
18.02.2017 20:26
Комментировать

в) Натуральное число X имеет в качестве простых делителей 5, 7.
Найти все такие X, у которых удесятеренное число натуральных делителей
равно сумме количеств натуральных делителей чисел X2 и X3.

Пусть Х=5n*7m.  Количество простых делителей этого числа (n+1)*(m+1).

Удесятеренное количество:  10*(n+1)*(m+1).

Число Х2 имеет вид 52n*72m, количество делителей (2n+1)*(2m+1).

Число X3 имеет вид 53n*73m, количество делителей (3n+1)*(3m+1).

Уравнение:  10(n+1)(m+1)=(2n+1)(2m+1) + (3n+1)(3m+1)

10(nm+n+m+1) = 4nm+2n+2m+1+9mn+3m+3n+1

3mn = 5n+5m+8

m(3n-5) = 5n+8

m = (5n+8) / (3n-5)

m, n - натуральные.

 При n=1 знаменатель отрицательный, m<0 и не целое.

Пусть n=2,  m=18.

Т.к. n и m входят в выражения  симметрично, то получаем m=2,  n=18

При n=3 m -не целое.

При n=4   m=4.

Ответ:   найденные Х:  52*718,   518*72,    54*74.

Примечание: m = (5n+8) / (3n-5)

Можно показать, что при n->∞   m -> 5/3.  

Поэтому минимальное значение m=2.

Хочу написать ответ