Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Геометрия 7-9 кл +ГИА » Доказать неравенство

Доказать неравенство

создана: 05.10.2018 в 19:12
................................................

 

:

доказать неравенства (х+1)(у+2)(z+8)>=32sqrt(xyz)

 ( +927 ) 
25.10.2018 09:54
Комментировать Верное решение
(баллы:+10)

(х+1)(у+2)(z+8) ≥ 32√(xyz)

xyz + 8xy + 2xz +16x + yz + 8y +2z + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 2(4xy + z) + 2(xz + 4y) + (16x + yz) + 16 ≥ 32√(xyz)

Рассотрим выражения:
A2 = (2√(xy) – √z)2 = (4xy + z – 4√(xyz)), тогда 4xy + z = A2 + 4√(xyz)
B2 = (√(xz) – 2√y)2 = (xz + 4y – 4√(xyz)), тогда xz + 4y = B2 + 4√(xyz)
C2 = (4√x – √(yz))2 = (16x + yz – 8√(xyz)), тогда 16x + yz = C2 + 8√(xyz)

Подставим:

xyz + 2(A2 + 4√(xyz)) + 2(B2 + 4√(xyz)) + (C2 + 8√(xyz)) + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 2A2 + 8√(xyz) + 2B2 + 8√(xyz) + C2 + 8√(xyz) + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 24√(xyz) + 16 + 2A2 + 2B2 + C2  ≥ 32√(xyz)

xyz – 8√(xyz) + 16 + 2A2 + 2B2 + C2  ≥ 0

(√(xyz) - 4)2 + 2A2 + 2B2 + C2  ≥ 0

Но сумма квадратов всегда неотрицательна, так как неотрицательно каждое из слагаемых. Причём равенство достигается только в случае равенства нулю всех слагаемых одновременно!

P.S. Равенство например достигается при x=1, y=2, z=8

Хочу написать ответ