Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 20.10.2018 в 04:41 ................................................
Demetra :
Найти все пары чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению;
(cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2
(cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2cos x sin x + cos x sin y + cos y sin x + cos y sin y = 2cos x sin x + sin(x+y) + cos y sin y = 2
Т.к. sin 2x = 2 sin x cos x, то(sin 2x) /2 + sin(x+y) + (sin 2y) /2 = 2 | ·2
sin 2x + 2·sin(x+y) + sin 2y = 4
Т.к. sin 2x ≤ 1, sin(x+y) ≤ 1 и sin 2y ≤ 1, то sin 2x + 2·sin(x+y) + sin 2y ≤ 4, причём равенство достигается только в случае:
sin 2x = 1, sin(x+y) = 1 и sin 2y = 1
2x = П/2 + 2Пk;2y = П/2 + 2Пm;x+y = П/2 + 2Пn;
x = П/4 + Пk;y = П/4 + Пm;x+y = П/2 + 2Пn;
Сложим первое и второе уравнение, получим:
x+y = П/2 + П(k+m);x+y = П/2 + 2Пn;
П(k+m) = 2Пnk+m = 2nm = 2n - k
Тогда в результате:x = П/4 + Пk;y = П/4 + П(2n - k);
Везде выше числа m, n, k € Z
Ответ: ( П/4+Пk; П/4+П(2n-k) ); n, k € Z