Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Тригонометрия » Решить уравнение (cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2

Решить уравнение (cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2

создана: 20.10.2018 в 04:41
................................................

 

:

Найти все пары чисел  (x;y), удовлетворяющие  уравнению;

(cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2

 ( +924 ) 
25.10.2018 09:12
Комментировать Верное решение
(баллы:+5)

(cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2
cos x sin x + cos x sin y + cos y sin x + cos y sin y = 2
cos x sin x + sin(x+y) + cos y sin y = 2

Т.к. sin 2x = 2 sin x cos x, то
(sin 2x) /2 + sin(x+y) + (sin 2y) /2 = 2    | ·2

sin 2x + 2·sin(x+y) + sin 2y = 4

Т.к. sin 2x ≤ 1, sin(x+y) ≤ 1 и sin 2y ≤ 1, то sin 2x + 2·sin(x+y) + sin 2y ≤ 4, причём равенство достигается только в случае:

sin 2x = 1, sin(x+y) = 1 и sin 2y = 1

2x = П/2  + 2Пk;
2y = П/2  + 2Пm;
x+y = П/2  + 2Пn;

 

x = П/4  + Пk;
y = П/4  + Пm;
x+y = П/2  + 2Пn;

 

Сложим первое и второе уравнение, получим:

x+y = П/2  + П(k+m);
x+y = П/2  + 2Пn;

П(k+m) = 2Пn
k+m = 2n
m = 2n - k

 

Тогда в результате:
x = П/4  + Пk;
y = П/4  + П(2n - k);

Везде выше числа m, n, k € Z

Ответ: ( П/4+Пk; П/4+П(2n-k) ); n, k € Z

Хочу написать ответ