Вопросы»пусть а множество всех шестнадцати значных натуральных чисел,для каждого из которых выполняется 2 условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1,Докажите что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 10^6 чисел|Поступи в ВУЗ

пусть а множество всех шестнадцати значных натуральных чисел,для каждого из которых выполняется 2 условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1,Докажите что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 10^6 чисел

создана: 16.11.2019 в 10:58
................................................

esper_sip :

PRIPYAT

( +1026 )

11.03.2019 16:22

Комментировать

Верное решение
(баллы:+20)

A - множество шестнадцатизначных чисел таких, что:

оно является квадратом целого числа

в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1

Доказать, что:

все числа из множества A - чётные
множество А содержит более чем 10⁶ чисел

Рассмотрим число из множества A, обозначим его N. Известно, что N = M². Т.к. у числа N количество десятков 1, то число оканчивается на значения 10, 11, ..., 19. Тогда остаток от деления числа N на 20 должен быть от 10 до 19! Представим число M в виде: M = 10a + b, где b - число от 0 до 9. N = M² = (10a + b)² = 100a² + 20ab + b² = 20 (5a² + ab) + b² Получается, что остаток от деления числа N на 20 совпадает с остатком от деления b² на 20. И он должен быть от 10 до 19!

Число b²	Остаток от деления на 20
1² = 1	1
2² = 4	4
3² = 9	9
4² = 16	16
5² = 25	5
6² = 36	16
7² = 49	9
8² = 64	4
9² = 81	1

Видим, что требуемый остаток возможен только при b = 4 или b = 6. Значит число M = 10a + b оканчивается цифрой 4 или 6. Тогда N = M² заканчивается на 6 (4² = 16, 6² = 36), т.е. чётное. А так как в числе N число десятков 1, то число N заканчивается на ...16

Мы определились в прошлом пункте, что для того, чтобы число N = M² имело количество десятков 1 необходимо, чтобы число M заканчивалось на 4 или 6. Однако этого недостаточно! Не любое число M, которое заканчивается на 4 или 6 подходит! Так 44² = 1936, а 46² = 2116 - первое число имеет 3 десятка. Это связано с тем, что в прошлом пункте для упрощения мы рассмотрели остатки от деления на 20! 1936 тоже при делении на 20 дает остаток 10 <= 16 <= 19.

Теперь усилим требования и найдём все такие числа b, которые при возведении в квадрат будут иметь количество десятков 1. Как было показано выше, такие числа при возведении в квадрат должны оканчиваться на 16! Значит, остаток от деления на 100 должен быть в точности равен 16! Рассмотрим случаи, где M = 100u + 10v + w, где v - число от 0 до 9, а число w = 4 или w = 6 (показано выше). M² = (100u + 10v + w)² = 10000u² + 100v² + w² + 2000uv + 200uw + 20vw = 100 (100u² + v² + 20uv + 2uw) + (w² + 20vw). Остаток от деления N = M² на 100 совпадает с остатком от деления (w² + 20vw) на 100. И он должен быть равен 16.

Если w = 4, то w² + 20vw = 16 + 80v = 100k + 16. Тогда 80v = 100k; v = 5k/4.
Из условия, что v - число от 0 до 9 подходит только числа v = 0 и v = 5.
В таком случае, число M заканчивается на ...04 или ...54
Если w = 6, то w² + 20vw = 36 + 120v = 100k + 16. Тогда 120v = 100k - 20; 6v = 5k - 1;
v = (5k - 1)/6
Из условия, что v - число от 0 до 9 подходит только числа v = 4 и v = 9.
В таком случае, число M заканчивается на ...46 или ...96

Значит, чтобы получить число с количеством десятков 1 необходимо и достаточно брать числа M, оканчивающиеся на ...04, ...54, ...46, ...96 и при возведении в квадрат они будут удовлетворять требуемому условию. Других таких чисел нет!

Оценим, сколько может быть таких чисел: Если 10¹⁵ <= N < 10¹⁶ (10¹⁵ - наименьшее шестнадцатизначное число), то:

10¹⁵ <= M² < 10¹⁶ 10⁷ ·√10 <= M < 10⁸

Сузим круг поиска, тем самым занизив оценку, но упростив вычисления.

√10 < 4, значит 10⁷ · 4 <= M < 10⁸ 40 000 000 <= M < 100 000 000

Значит число M имеет вид: AB CDE F04; AB CDE F54; AB CDE F46; AB CDE F96.

Число A = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - возможно 6 цифр.

Числа B, C, D, E, F - возможно 10 цифр

Число комбинаций: 6 * 10 * 10 * 10 *10 * 10 * 4 = 24 * 10⁵ = 2 400 000.

Данная оценка занижалась, поэтому количество таких чисел больше 2 400 000, т.е. явно больше, чем 10⁶ (ч.т.д.)

Хочу написать ответ