Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Задачи на соотношение между натуральными числами. Страница Админа

создана: 10.04.2012 в 12:42
................................................

 ( +113 ) 

:

Натуральные числа - это целые положительные числа.

1, 2, 3,  ...   

Число 0 не является натуральным.  Еще говорят, что натуральные числа возникли в результате подсчета количества предметов. Число 0 было придумано позже.

Эта задача и последующие - задачи на соотношение между натуральными числами.  В основе решения таких задач лежит представление натурального числа в виде суммы, например, 

число 572 = 5·102 +7·10+2. Т.е., если цифры трехзначного числа будут x, y, z, то число необходимо представить в виде  x·102 + y·10 + z.

Сначала — задачи попроще.

________________________________________________________________________________________________________

№ 1. Сумма цифр двузначного числа равна 5. Если к каждой цифре добавить по 2, то получится число, которое на 1 меньше удвоенного первоначального. Найдите это число.

Решение.  Пусть цифра десятков х, а цифра единиц  у. Тогда х+у=5, а первоначальное число было 10х+у.

После увеличения цифры будут х+2  и  у+2, а число станет 10(х+2) + (у+2).

Составляем систему из двух уравнений: 

x+y=5 

10(x+2)+(y+2)=2(10x+y)-1;

Упростив второе уравнение получим: 10x+y= 23,   но 10х+у - это исходное число, причем 2+3=5, как и в условии. 

Значит,  это число 23.

Ответ:         

 ( +113 ) 
30.08.2011 16:21
Комментировать

№ 2.  Две подруги ходили в лес за грибами. Когда их спросили, сколько они собрали грибов, девочки ответили, что если между цифрами этого двузначного числа вписать ноль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первоначального. Сколько грибов собрали подруги?


Обозначим цифры двузначного числа x и y.

Тогда это число представимо как 10 x+y (x- число десятков,  y- число единиц).

Если вписать ноль, то x станет числом сотен, 0 - числом десятков, а y - числом единиц.

Новое число станет: 100x+y, что в 9 раз больше, чем 10x+y.

Составим уравнение   100x+y=9(10x+y)   -->  10x=8y  --> x=4y/5, а т.к. x, y - цифры, то они целые числа, причем x не равен нулю. Значит, y=5, тогда x=4.

Ответ:  45

 ( +113 ) 
30.08.2011 16:22
Комментировать

    Это Вася.  А это - Петя.

№ 3. Задача про возраст Пети и Васи.

Двоюродные братья Петя и Вася заметили, что в сумме их возраст составляет 50 лет. А если к возрасту Пети приписать возраст Васи и вычесть из полученного четырехзначного числа четырехзначное число, получаемое, если к возрасту Васи приписать возраст Пети, то получится 198. Найдите возраст Пети.

Решение.

Пусть возраст Пети 10a+b, а возраст Васи   10c+d.  Тогда 10a+b+10c+d=50

Первое 4-хзначное число будет состоять из цифр   abcd и оно равно 1000a+100b+10c+d.

Второе:  cdab и оно равно 1000c+100d+10a+b. Если из первого вычесть второе, то получим 198.

Имеем 2 уравнения:

(1000a+100b+10c+d)-(1000c+100d+10a+b)=198,

10a+b+10c+d=50.

После упрощения получим:  

10a+b-10c-d=2,

10a+b+10c+d=50.

Сложив 2 уравнения, получим 10a+b=26, а это возраст Пети.

Ответ: 26.

 ( +113 ) 
30.08.2011 16:26
Комментировать

Некоторые решают такие задачи подбором. Берут пары чисел, например, 25 и 25 или 24 и 26 и т.д.

И проверяют, выполняется ли условие. Если эта задача требует только ответа, то подбирайте и проверяйте. Если же задача требует описания решения, то смотрите решение выше.

 ( +113 ) 
30.08.2011 16:23
Комментировать

Задача О ПАСПОРТЕ

Рома Васильев получил паспорт и решил запомнить его шестизначный номер. Он заметил, что в номере совпадают первая, третья и четвертая цифры, а также вторая и шестая. При этом, если из трехзначного числа, составленного из последних трех цифр, вычесть трехзначное число, составленное из первых трех цифр, то получим 42, а сумма первых двух цифр числа равна 6. Определите номер паспорта Ромы.

Решение.

Обозначим первую, третью и четвертую цифры буквой a,  вторую и шестую - b, пятую - x. Тогда номер паспорта будет иметь вид:   abaaxb.  Число, составленное из трех последних цифр - axb, представимо как 100a+10x+b, а число, составленное из трех первых цифр -  aba, представимо как 100a+10b+a.

По условию составим 2 уравнения:

(100a+10x+b) - (100a+10b+a) = 42     и         a+b=6.

Упростив первое уравнение и подставив в него a=6-b, получим

10x-8b=48     ->    10x=8b+48   ->             5x=4(b+6) .

Т.к. в последнем равенстве x и b - целые, то x делится нацело на 4, а b+6 делится нацело на 5. Учитывая, что b<10 (это цифра), получаем, что b=4 или b=9.

Но т.к. a+b=6, значит, b не может равняться 9.

Получили, что b=6  -> a=2   ->   x=4(4+6)/5=8.

Ответ: номер паспорта -  242284

Проверим:    284-242=42 и 2+4=6.

 ( +2902 ) 
30.08.2011 17:03
Комментировать

         

Задача из ГИА (повышенный уровень)

Для перевозки грузов было заказано две машины разной грузоподъемности, которые должны были сделать одинаковое количество рейсов, при этом первая машина должна перевести на 60т груза больше, чем вторая. В действительности оказалось, что грузоподъемность этих машин  меньше, чем предполагалось: у первой машины - на 4 тонны, а у второй - на 3. В результате каждый водитель сделал по 10 лишних рейсов, чтобы перевести свою часть груза. Какова грузоподъемность второй машины?

Решение:

Пусть по плану грузоподъемность первой машины х тонн, а второй - у тонн, количество рейсов по плану - n.

Ур-ие:   nx - ny = 60 (т.к. первая должна перевезти на 60 тонн больше).

Фактически грузоподъемность первой (х-4) тонны и количество рейсов n+10. Ур-ие:  (n+10)(х-4)=nx.

Фактически грузоподъемность второй (у-3) тонны и количество рейсов n+10. Ур-ие:  (n+10)(e-3)=ny.

Получили систему 3-х уравнений с тремя неизвестными.

nx - ny = 60,                                                              n(x-y) = 60,           (1)

nx+10x-4n-40=nx,                                                    10x-4n = 40,          (2)

ny+10y-3n-30=ny.                                                    10y-3n = 30.          (3)

Вычтем из уравнения (2) почленно уравнение (3). Получим:

10(х-у) - n = 10.   Из уравнения (1):  х-у= 60/n.

Тогда   10·60/n - n = 10   -->   600 - n2 = 10n   -->     n2 + 10n - 600 = 0   -->    n=20.

Подставим n в уравнение (3):    10y - 60 = 30    -->   y=9 (тонн по плану), 

фактическая грузоподъемность второй машины 9-3 = 6 (тонн).

Ответ: 6.

 ( +2902 ) 
11.05.2013 18:23
Комментировать

Дано двузначное натуральное число, сумма квадратов цифр которого равна 45. Если к этому числу прибавить 27, то получим число, записанное теми же цифрами , но в обратном порядке.  Найдите данное число.

Решение.   http://postupivuz.ru/vopros/11620.htm


Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивается цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите эти числа.

Решение.  http://postupivuz.ru/vopros/12198.htm

Хочу написать ответ