Для доказательства надо воспользоваться соотношением
между средним арифметическим и средним геометрическим
для двух неотрицательных чисел:

       a+b ≥ 2√(ab)

при b=1 получим   а+1 ≥ 2√а    (1)

при a=1                 b+1 ≥ 2√b     (2)

Аналогично      с+1 ≥ 2√с

Заменим с на ab, получим ab +1 ≥ 2√(ab)   (3)

Перемножим левые части неравенств (1), (2), (3) и запишем слева,

а произведение правых частей неравенств запишем справа.

Т.к. все выражения неотрицательны,

то знак полученного неравенства не изменится.

(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 2√а *2√b * 2√(ab)     

(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8√а*√b *√(ab)     

(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8ab.     Доказано.