ЭТА ЗАДАЧА ИЗ ТЕСТОВ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО АЛГЕБРЕ ЗА 7 КЛАСС ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ф.Ф. ЛЫСЕНКО.

ОТВЕТ:(m-n)(m^4+m^3n+m^2n^2+mn^3+n^4).

В КНИГЕ И.М.ГЕЛЬФАНДА И А.ШЕНЬ "АЛГЕБРА" Я НАШЛА РАЗЛОЖЕНИЕ a^3-b^3, НО Я ОПЯТЬ НЕ ПОЙМУ КАК ОНИ ПРИШЛИ К ТАКОМУ ОТВЕТУ:

a^3 -b^3 =a^3 -a^2b +a^2b -ab^2 +ab^2 -b^3 =
=a^2(a -b)+ab(a -b)+b^2(a -b)=(a^2 +ab +b^2)(a -b)

a³ - b³,  a³ + b³, a² - b² , (a ± b)²  и (a ± b)³ вы учили в 7-м. Это формулы сокращенного умножения. Их нужно просто выучить.

А m⁵ - n⁵ надо представить так:

m⁵ - m⁴n + m⁴n - m³n² + m³n² - m²n³ + m²n³ - mn⁴+ mn⁴ - n⁵.   Дальше, думаю, понятно.

Flora. К вопросу "как они пришли к такому ответу".  Доказательство формул и решение задач, используя фомулы и алгоритмы решений - это совершенно разные вещи. В восьмом классе вы будете решать квадратные уравнения. Вам дадут формулу вычисления корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. А, как получены эти формулы, вам сообщать не будут.

Задачи на доказательство и в алгебре и в геометрии - наиболее трудный раздел.

Обычно вам предлагают несложные утверждения.
Типа: доказать, что (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b³. Попробуй, докажи. И это будет формула, которую вы должны были запомнить в 7-м классе.