область определения х>0,5

log_x+1(x-0.5)=log_x+1(x+1)/log_x+1(x-0,5)(переход к новому основанию)

log²_x+1(x-0.5)=1

log_x+1(x-0.5)=1 или log_x+1(x-0.5)=-1

x+1=x-0,5 решения нет

(x+1)^-1=x-0,5  (x-0.5)(x+1)=1  2x²+x-3=0 корни уравнения x=1 и x=-1,5 не принадлежит области определения

ответ x=1