Чтобы стать веб-программистом, надо поступать на программное обеспечение или на прикладную математику, компьютерные технологии и т.д. Т.е. изучать программирование.
Для тех, кто без высшего образования хочет стать веб-программистом, то можно окончить курсы , обычно платные. В вузах нет факультетов веб-программирования. Изучают этот предмет часто недостаточно для того, чтобы стать профессионалом. Дают только начальные знания.