ОДЗ:
-sin(x) > 0
sin(x) < 0
π+2πn < x < 2π+2πn
(часть единичной окружности, лежащая в нижней полуплоскости)

8*(sin(2x))^2 + cos(2x) + 1 = 0
8 - (cos(2x))^2 + cos(2x) + 1 = 0
Делаем замену: cos(2x) = t

8*t^2 - t + 9 = 0
t1 = 18/16 > 1, не подходит
t2 = -16/16 = -1

cos(2x) = -1
2x = π + 2πn
x = π/2 + πn

Если n четное, то x лежит в верхней полуплоскости, это не удовлетворяет ОДЗ. Нам годятся только решения для нечетных n, что можно иначе записать

x = -π/2 + 2πn

Ответ:

-pi/2 + 2πn