Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной в 6 и 15 см. Разность сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сторон параллелограмма и его диагоналей.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Один образован частью диагонали длиной 6 см, перпендикуляром и меньшей стороной параллелограмма. Второй образован частью диагонали длиной 15 см, перпендикуляром и большей стороной параллелограмма. Обозначим a - меньшая сторона параллелограмма, b - большая сторона параллелограмма, c - перпендикуляр.
По теореме Пифагора:
a^2=c^2+6^2
b^2=c^2+15^2
Из первого равенства выразим c^2:
c^2=a^2-6^2
Сторона b длиннее стороны a на 7 см, то есть b=a+7. Переписываем второе равенство:
(a+7)^2=a^2-6^2+15^2
a^2+14*a+49=a^2-6^2+15^2
14*a=225-36-49
14*a=140
a=10 см - длина меньшей стороны
b=10+7=17 см - длина большей стороны
Теперь найдём длины диагоналей d1 и d2:
d1=6+15=21 см - длина одной диагонали
d1^2+d2^2=2*(a^2+b^2)
d2=корень из (2*(a^2+b^2)-d1^2)
d2=корень из (2*(100+289)-441)
d2= корень из 337 ~ 18,36 см - длина другой диагонали
