Задача эта из варианта №8 ГИА для 9 класса , автора я незнаю
Из другого варианта там такое задание, но я его тоже не могу решить , как на такую тему они решаются не могу понять, но я очень хочу научиться решать такие задания
№ 2. Найдите наименьшее значение выражения (ху-х+6)^2+(x+y-2)^2 и все значения х и у , при которых оно достигается
№ 1. При каких значениях х и у, связанных соотношением х-у=3, выражение 2х2 +4ху -5у2
принимает наименьшее значение.
Решение: у=х-3 подставим в выражение 2х2 + 4х(х-3) - 5(х-3)2 = х2 + 18х - 45.
Выражение преобразовалось в квадратный трехчлен. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем иксовую координату вершины параболы.
х0 = -18/2 = -9. { ф-ла х0 = -b/(2a) }
Получили, что при х0= -9, а значит, у0= 3-(-9) = 12 выражение принимает наименьшее значение.
№ 2. Найдите наименьшее значение выражения (ху-х+6)^2+(x+y-2)^2 и все значения х и у , при которых оно достигается.
Решение. Т.к. выражение представляет собой сумму квадратов, то его значение больше или равно 0 при любых х и у. Наименьшее значение выражения равно 0, и это достигается, если
ху - х + 6 = 0 (1) и
х + у - 2 = 0. (2) Решим эту систему. у = 2–х подставим в (1).
х(2 - х) - х + 6 = 0 --> 2x - x2 - x + 6 = 0 --> x2 - x - 6 = 0
Вообще, значение квадратного трёхчлена a*x^2+b*x+c достигает максимума или минимума при x=-b/2a, причём, если a>0, то это будет минимум, а если a<0, то это будет максимум.
Извиняюсь, немного неправильно выразился. Надо было написать "вершина параболы имеет координату x, равную -b/2a". А ордината вершины параболы и есть наибольшее или наименьшее значение данной функции. Если a<0, то ветви направлены вниз, и вершина будет соответствовать наибольшему значению, а если а>0, то ветви направлены вверх, и вершина будет соответствовать наименьшему значению.
