1. Парабола у = -х2 + рх + q пересекает ось абсцисс в точке (-2;0), а ось ординат в точке (0;8). Определите координаты второй точки пересечения с осью абсцисс.
2. При каких значениях а парабола у = ах2 - 3х + 1 пересекает ось х в двух точках и ее ветви направлены вверх?
3. Парабола у = 2х2 + с пересекает ось х в точке (√3;0). Найдите значение с и определите, пересекает ли эта парабола прямую у = -10
Наибольшее значение выражение принимает, если 5a - 2b = 0, т.е. при 5a=2b.
Тогда наибольшее значение исходного выражения равно 4.
Ответ: 4.
10. При каких значениях х и у, связанных соотношениемх-у=3, выражение 2х2 +4ху -5у2
принимает наименьшее значение.
Решение:у=3-х подставим в выражение 2х2 + 4х(х-3) - 5(х-3)2 = х2 + 18х - 45.
Выражение преобразовалось в квадратный трехчлен. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем иксовую координату вершины параболы.
х min = -18/2 = -9. { ф-ла хmin = -b/(2a) }
Получили, что при х= -9, а значит, у= 3-(-9) = 12 выражение принимает наименьшее значение.
Ответ: -9; 12
11. Найдите наименьшее значение выражения (ху-х+6)^2+(x+y-2)^2 и все значения х и у,
при которых оно достигается.
Решение. Т.к. выражение представляет собой сумму квадратов, то его значение больше или равно 0 при любых х и у. Наименьшее значение выражения равно 0, и это достигается, если
ху - х + 6 = 0 (1) и
х + у - 2 = 0. (2) Решим эту систему. у = 2–х подставим в (1).
х(2 - х) - х + 6 = 0 --> 2x - x2 - x + 6 = 0 --> x2 - x - 6 = 0
