Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции с решениями.

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x³,  y=0, x=-3, x=1.

Решение.

   0              1                                  0                   1

-∫ х³ dx + ∫ x³ dx = - (x⁴/4) |  + (x⁴ /4) |  = (-3)⁴ /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5   

 -3                0                               -3                    0

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=2^x;  y=2^x/2;  x=2.

Решение.

S=  ₀∫² (2^x - 2^x/2 )dx = (2^x / ln2 – 2*2^x/2 / ln2) |_o² = 4/ln2 - 4/ln2 - ( 1/ln2-2/ln2) = 1/ln2.

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x³+1,  у=0,  x=0

Решение.

F(x) = x⁴/4 +x;  S = F(0) - F(-1) = 0+0 - (1/4 - (-1)) = -1/4 + 1 = 3/4

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x,  у=0,  x=0,  x=п/2

Решение.

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х²,  у=0,  

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

F(x) = 4x - x³/3;   S = 2* (F(2) - F(0)) = 2*(4*2 - 8/3 -0)=16 - 16/3 = 16 - 5 1/3 = 10  2/3

№ 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+ 0,5cos x,  у=0,  x=-п/2,  x=п/2

Решение.

F(x) = x+0,5sinx;   S = 2*(F(п/2) - F(0)) = 2*(п/2 +0,5*sin(п/2) -0 - 0,5sin0 ) = 2*(п/2 +0,5) = п +1≈ 4,14

№ 7.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х², у=√х.

Найдем пределы интегрирования: х²=√х;    х=0,  х=1.

S= ₀∫¹ √(√x - x²)dx =( x^3/2/1,5 - x³/3 ) |¹₀ =  1/1,5 -1/3 - 0 = 2/3 - 1/3 = 1/3

№ 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у²=2х+4 , х=0.

Решение.  y= ±√(2x+4);   x=0 - ось OY

Надо вычислить площадь закрашенной фигуры. Вычислим площадь части фигуры, находящейся во второй четверти, затем умножим её на 2.

S= 2* (F(0)- F(-2))

F(x) = (2x+4)^3/2 /3 +C,     F(x) - первообразная функции у(х).    F'(x) = y.

S = 2*[(0+4)^3/2 /3 - (-4+4)^3/2 /3] = 2*8/3 = 16/3 

Примеры вычисления интегралов.

1) ∫xsin3xdx

Решение. Воспользуемся формулой     ∫u·dv = uv - ∫v·du 

u=x,  sin3xdx = dv,   du=dx,   v= ∫sin3xdx = -cos3x /3

∫xsin3xdx = - x(cos3x) /3  -  1/3 ∫(-cos3x)dx + С =

= -xcos3x /3 - 1/9 (-sin3x) + С = (-xcos3x)/3 + (sin3x)/9 + С

№ 2. ∫ ln²xdx

∫udv = uv - ∫vdu

∫ln²xdx     Пусть ln²x = u,  dx=dv

              (2lnx)/x dx = du,   v=x

Int = ∫ln²xdx = xln²x - ∫x(2lnx) /x dx + С = xln²x -2∫lnx dx + С

Найдем  ∫lnx dx.

u=lnx         du= 1/x *dx

dv=dx         v=x

∫lnx dx = xlnx - ∫x/x dx + С = xlnx - x + С

Int = xln²x - 2(xlnx - x) +С = xln²x -2xlnx +2x + С

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями у2=x; x=0; y=3

у=√x;  x=0;  y=3

S=₀∫⁹(3-√x)dx = (3x - 2x^3/2/3)|₀⁹ =

= 3*9 - 2*√9³/3 = 27 - 2*27/3 = 27-18=9

Ответ: 9.