Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 04.10.2012 в 21:05 ................................................
aliz :
1)доказать справедливость неравенства
(a+3)/(a+4)<(a+4)/(a+5) ,для любого положительного числа а
11/12*13/14*15/16*...*1099/1100<1/10
2/3*5/6*8/9*...*128/129<1/4
1) (a+3)/(a+4) < (a+4)/(a+5)
Домножим на (а+5) / (а+4) (это выражение положительно, знак неравенства не меняется)
Получим (а+3)(а+5) / (а+4)2 < 1
(a2 +8a+15) / (a2 +8a +16) < 1 - это очевидно, т.к. числитель на 1 меньше знаменателя.
Значит, исходное неравенство верно.
2) 11/12*13/14*15/16*...*1099/1100<1/10
Рассмотрим произведение P = 11/12*13/14*15/16*...*1099/1100 и докажем, что P<1/10
Как было получено в комментарие выше (a+3)/(a+4)<(a+4)/(a+5) делаем вывод, что для натуральных n верно: n / (n+1) < (n+1) / (n+2).
Действительно, домножим обе части на (n+1)(n+2). тогда n(n+2) < (n+1)2, т.е.
n2+2n< n2+2n+1, т.е. 0<1. Верно.
Тогда 11/12<12/13 ; 13/14<14/15; ... ; 1099/1100<1100/1101
Перемножим эти неравенства почленно:
Тогда P = 11/12*13/14*15/16*...*1099/1100 < 12/13*14/15*16/17*...*1100/1101
Рассмотрим правое выражение 12/13*14/15*16/17*...*1100/1101 и перепишем его в виде:
12*14/13*16/15*18/17*...*1100/1099 * 1/1101 = 12*11/12 * (12/11*14/13*...1100/1099)*1/1101 = 11 * (12/11*14/13*...1100/1099) * 1/1101
Но в скобках (12/11*14/13*...1100/1099) стоит перевернутое произведение, т.е. 1/P.
Значит правое выражение можно переписать 11*1/P* 1/1101.
Неравенство приняло вид P< 11/(1101*P)
Чем меньше значенатель, тем больше дробь, воспользуемся:
P< 11/(1101*P)<11/(1100P), т.е. P<1/(100P)
Домножим на P обе части, т.к. оно положительно: P2<1/100.
Отсюда P<1/10, т.е. 11/12*13/14*15/16*...*1099/1100<1/10
3) 2/3*5/6*8/9*...*128/129<1/4
Решается подобным образом, но здесь требуется уже применить несколько раз сравнение, что делает задачу интересней.
Опять же, обозначим P = 2/3*5/6*8/9*...*128/129.
Воспользуемся n/(n+1)<(n+1)/(n+2), тогда
2/3<3/4<4/5; 5/6<6/7<7/8; 128/129<129/130<130/131 и
P = 2/3*5/6*8/9*...*128/129 < 3/4*6/7*...*129/130 < 4/5*7/8*...*130/131.
Теперь можно сказать, что
P < 3/4*6/7*...*129/130, и что
P < 4/5*7/8*...*130/131.
Теперь перемножим и эти неравенства.
P2 < (3/4*4/5) * (6/7*7/8)*...*(129/130*130/131), т.е.
P2 < 3/5*6/8*...*126/128*129/131.
Далее, аналогично прошлому примеру, "сдвигаем" числители относительно знаменателей.
P2 < 3*6/5*9/8*...*129/128 * 1/131.
P2 < 3*2/3*(3/2*6/5*9/8*...*129/128) * 1/131.
В очередной раз замечаем, что в скобках перевёрнутое произведние 1/P, т.е.
P2 < 3*2/3*1/P*1/131; P2 < 2/(131P)
Домножим на P: P3 < 2/131 < 2/128
P3<1/64 , значит P<1/4, т.е. 2/3*5/6*8/9*...*128/129<1/4
