Применим метод неопределенных коэффициентов.

(3x+1) / (x(x²+1)) = А/x + (Bx+C) / (x² +1) =              приведем к общему знаменателю

= (Ax² + А + Вх² +Сх) /(x(x²+1))      приравниваем коэфф. при одинаковых степенях х:

A+B = 0

C=3

A=1            --->  B=-1

(3x+1)/(x(x²+1)) = A/x + (Bx+C)/(x²+1) = 1/x + (-x+3)/(x²+1)

∫  = ∫dx/x  - 0,5∫ 2xdx/(x²+1) +∫3dx/(x²+1) =

= ln |x| - 0,5ln(x²+1)  + 3arctg x + Const