Формула для площади плоской фигуры в полярных координатах: S =   

Пределы интегрирования: a=-П/2; b=П/2

Именно в интервале [-П/2; П/2] (в пределах одного оборота разумеется) cos x > 0 и здесь можно говорить о том, что определена фигура в полярных кординатах, т.к. r=2cos Φ>0 и r=4cos Φ также, а r - расстояние и должно быть неотрицательно!!!!

Будем искать площадь фигуры, ограниченной данными как S= S₁-S₂

S₁ = 1/2 *  _-П/2∫^П/2  (4cos φ)²  dφ = 1/2 *  _-П/2∫^П/2  16 cos² φ  dφ = 8 * _-П/2∫^П/2  cos² φ  dφ

Полезно будет сразу вывести интеграл:

∫cos²x dx = ∫ (1+cos 2x)/2  dx = 1/2 * ∫ (1+cos 2x)  dx = 1/2 *(∫dx + ∫cos 2x dx) =

= 1/2 *(x + 1/2∫cos 2x d(2x))= 1/2 *(x + 1/2 sin 2x) + C = x/2 + (sin 2x) / 4 + C

Тогда S₁ = 8 * _-П/2∫^П/2  cos² φ  dφ = 8 * (x/2 + (sin 2x) / 4) |_-П/2 ^П/2 =

= 8 * (П/4 + sin П + П/4 + sin П) = 8 * П/2 = 4П

Аналогично S₂ =  1/2 *  _-П/2∫^П/2  (2cos φ)²  dφ = 1/2 *  _-П/2∫^П/2  4 cos² φ  dφ = 2 * _-П/2∫^П/2  cos² φ  dφ = 2 * _-П/2∫^П/2  cos² φ  dφ = 2 * (x/2 + (sin 2x) / 4) |_-П/2 ^П/2 = = 2 * (П/4 + sin П + П/4 + sin П) = 2 * П/2 = П

Тогда S = 4П-П = 3П

Ответ: 3П

P.S. Полезно также знать, что это были окружности, радиусами соответсвенно r₁ = 4/2 = 2 и 

r₂ = 2/2 = 1

Тогда S = S₁ - S₂ = Пr_1² - Пr_2² = 4П-П = 3П